4. Відстань між двома паралельними площинами.

Нехай площини та паралельні. Знайдемо відстань між ними. Очевидно, що їхні рівняння можна записати у вигляді

, .

Якщо точка , то шукана відстань буде дорівнювати відстані від цієї точки до площини (рис. 4). Користуючись формулою відстані від точки до площини з пункту 1, дістаємо

.

5. Взаємне розташування трьох площин.

Взаємне розташування двох площин можна досліджувати, користуючись також і методами лінійної алгебри. Покажемо, як цей метод використовується при дослідженні взаємного розташування трьох площин , заданих рівняннями , .

Дослідимо систему рівнянь

. (4)

Для цього введемо в розгляд матриці

та .

Позначимо їхні ранги відповідно через та .

Можливі наступні випадки.

a) . У цьому випадку система (4) має єдиний розв’язок, а площини мають єдину спільну точку.

б) . Система (4) має однопараметричну нескінченну множину розв’язків. Всі три площини у цьому випадку перетинаються по спільній прямій або дві з площин співпадають; а третя їх перетинає.

в) . Система (4) має двопараметричну нескінченну сім’ю розв’язків, тобто, рівносильна одному із трьох її рівнянь. У цьому випадку всі три площини співпадають.

г) , . Система (4) розв’язків не має. Площини попарно перетинаються по трьох паралельних прямих, або дві з площин паралельні, а третя їх перетинає.

д) , . Система (4) розв’язків не має. У цьому випадку площини паралельні між собою (можливий випадок співпадання двох із них).

6. Приклади.

Задача 1. Визначити, на якій відстані від початку координат проходить площина , задана рівнянням .

Розв’язання. Користуючись рівністю (1), дістаємо

_{Відповідь. 2.}

Задача 2. У трикутній піраміді SABC ребра SA, SB та SC взаємно перпендикулярні та рівні відповідно . Обчислити довжину висоти піраміди SH.

Розв’язання. Введемо прямокутну систему координат, вибравши початок координат у точці , а промені SA, SB та SC у ролі осей . Оскільки на координатних осях площина ABC відтинає відрізки та , то її рівняння запишеться у вигляді . Скориставшись формулою (1), одержуємо довжину висоти SH, як відстань від точки до площини (ABC):

.

Задача 3. Встановити, чи перетинає площину відрізок, кінці якого знаходяться у точках та .

Розв’язання. Визначимо знак виразу для кожної із заданих точок. Знаходимо

,

.

Оскільки обидві точки розташовані в одному півпросторі, то відрізок площину не перетинає.

Задача 4. Скласти рівняння площини, яка проектує пряму на площину , задану рівнянням .

Розв’язання. Очевидно, що проектуюча площина паралельна до векторів та , перший з яких паралельний до заданої прямої, а другий перпендикулярний до площини . Крім цього, площина повинна проходити через точку , що належить прямій. Рівняння шуканої площини запишемо у вигляді визначника

.

Після очевидних обчислень дістаємо шукане рівняння у вигляді .