2. Геометричний зміст знаку виразу .

Задамо в просторі афінну систему координат та розглянемо площину , задану рівнянням . Вона розбиває весь простір на два півпростори із спільною границею – площиною . Знайдемо умови, які визначають ці півпростори.

В иберемо на даній площині деяку точку та проведемо через неї паралельно до вектора пряму (рис. 2). Даний вектор не може бути паралельним до площини , оскільки тоді, згідно з лемою про паралельність вектора та площини (лекція 7, п. 3), виконувалася б рівність , що неможливо. Нагадаємо, що у прямокутній системі координат вектор перпендикулярний до площини .

Виберемо на прямій довільну точку та запишемо рівності , які випливають із колінеарності векторів та , оскільки останні зв’язані між собою рівністю . Обчислимо значення виразу у точці :

.

Оскільки , то знак виразу залежить від знаку множника . Зокрема при вектори та напрямлені однаково, тому всі точки , для яких >0, будуть утворювати півпростір, обмежений площиною (цьому півпростору належить кінець вектора ). При вектори та напрямлені протилежно, а множина точок, для яких <0, утворює інший півпростір, границею якого є площина .

3. Взаємне розташування двох площин. Умова паралельності. Кут між двома площинами. Умова перпендикулярності.

Дослідимо взаємне розташування двох площин , заданих в деякій афінній системі координат рівняннями

, .

Очевидно, що площини та можуть бути паралельними (зокрема співпадати), або перетинатись. У першому випадку можна говорити про відстань між ними, а у другому – про кут між площинами.

Дослідимо умову паралельності площин. Нехай . Розглянемо паралельні до площини вектори та (нагадаємо, що вектор паралельний до площини тоді і тільки тоді, коли виконується рівність ). Для того, щоб площини та були паралельними, необхідно і достатньо, щоб ці вектори одночасно були паралельними до площини , тобто повинні виконуватися рівності

, . (2)

Звідси дістаємо умову паралельності площин

(3)

у випадку, коли , та відмінні від нуля. Зауважимо, що у випадку паралельності площин, якщо , то і . Справді, якби 0 і , то площина була б паралельна осі , в той час, коли площина до осі не паралельна. При з рівності (2) дістаємо . Аналогічно, при дістаємо . Тобто якщо деякі із коефіцієнтів біля змінних в рівнянні однієї з площин рівні нулю, то для паралельності площин необхідно, щоб у рівнянні другої площини відповідні коефіцієнти теж дорівнювали нулю.

Нехай та , , . Також вважатимемо, що точка . Площини та співпадатимуть, якщо точка . Із рівностей , , помноживши другу із них на та віднявши від першої, дістаємо . Звідси дістаємо умову співпадання двох площин у вигляді пропорції

(наявність нуля в одному із знаменників вимагає рівності нулю відповідного чисельника).

Нехай умова (3) паралельності площин не виконується, тобто площини перетинаються. При перетині двох площин утворюються чотири двогранні кути, величини яких ми хочемо визначити, користуючись рівняннями площин. Вважатимемо систему координат прямокутною декартовою. Оскільки вектор та вектор , то кут між векторами та буде дорівнювати одному із двогранних кутів між площинами (рис. 3).

Скориставшись скалярним добутком векторів та , дістаємо

.

Зокрема площини будуть перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли , тобто, коли виконується умова

.