5. Задачі.

Задача 1. Зобразити лінію перетину площин та .

Розв’язання. Зобразимо площину . Для цього знайдемо точки та її перетину з осями та . Оскільки || (в рівнянні площини відсутня змінна ), то, провівши через точки та прямі та паралельно до осі , дістанемо зображення площини (рис. 6). На осі знаходимо точку , яка належить площині , і через неї проводимо прямі та . Точка і прямі та визначають площину . Точка перетину прямих та належить шуканій прямій перетину площин, оскільки обидві прямі лежать в одній площині (площині ) і перетинаються. Аналогічно, точка перетину прямих та , які лежать в площині , теж належить лінії перетину. Таким чином, шуканою прямою є пряма .

Задача 2. Скласти рівняння ортогональної проекції прямої , заданої канонічним рівнянням , на площину , задану рівнянням ^.

Розв’язання. Скористаємося вектором який перпендикулярний до площини та вектором , який паралельний до прямої . Ці вектори не колінеарні, тому пряма не перпендикулярна до . Отже її проекцією буде деяка пряма .

Другу площину , якій належить s, проведемо через пряму , перпендикулярно до . Очевидно, що проходить через точку , яка належить прямій і паралельна до векторів та . Скориставшись співвідношенням (2), дістаємо рівняння площини :

,

яке запишемо у вигляді

,

або

Рівняння шуканої проекції подамо у вигляді (10), як перетин площин та .

Відповідь.

Задача 3. Три грані куба з ребром 1 належать координатним площинам. Побудувати переріз куба площиною

.

Р озв’язання. Зобразимо заданий куб та площину , побудувавши на осях точки (рис. 7). Знаходимо точку перетину прямих та (обидві прямі лежать в площині ) та точку P перетину прямих та . Пряма PN лежить у площині та в площині і перетинає ребра верхньої грані куба в точках R та S. Тепер знаходимо точку перетину прямих та і проводимо пряму , яка перетне ребро у деякій точці T.

Відповідь. Трикутник .

Задача 4. Три ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні, а їх довжини дорівнюють та . Знайти ребро куба, вписаного в цю піраміду, якщо одна з вершин куба співпадає з вершиною піраміди

Розв’язання. Нехай ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні. Впишемо в цю піраміду куб, одна з вершин якого (на рис. 8 – точка ) належить грані піраміди. Нехай ребро куба дорівнює . Тоді у системі координат, зображеній на рисунку 8, рівняння площини запишеться у вигляді . Оскільки точка належить цій площині, то виконується рівність . З одержаного рівняння знаходимо .

Відповідь. .

Лекція 10. Відстань від точки до площини. Взаємне розташування площин

План

1. Відстань від точки до площини.

2. Геометричний зміст знаку виразу .

3. Взаємне розташування двох площин. Умова паралельності. Кут між двома площинами. Умова перпендикулярності.

4. Відстань між двома паралельними площинами.

5. Взаємне розташування трьох площин.

6. Приклади.

1. Відстань від точки до площини.

Н ехай у прямокутній декартовій системі координат рівняння визначає деяку площину , а також задана точка . Обчислимо відстань від даної точки до площини .

Нехай точка – основа перпендикуляра, опущеного із точки на площину (рис. 1). Як відомо, вектор перпендикулярний до площини , тому вектори та колінеарні, тобто виконується рівність . Прирівнюючи координати векторів, дістаємо

, , ,

або

, , .

Оскільки координати точки задовольняють рівняння площини , то виконується рівність , звідки

.

Тоді

.

Таким чином,

. (1)

Одержане співвідношення дозволяє обчислювати відстань від точки до площини.