Лекція 17. Циліндричні та конічні поверхні. Поверхні обертання. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку

План

1. Поняття циліндричної поверхні. Рівняння циліндричних поверхонь. Приклади.

2. Поняття конічної поверхні. Рівняння конічних поверхонь.

3. Поверхні обертання.

4. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку.

5. Приклади розв’язання задач.

1. Поняття циліндричної поверхні. Рівняння циліндричних поверхонь. Приклади.

Нехай у просторі задана деяка лінія та вектор , який задає певний напрям.

Означення 1. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та паралельні даному напряму, називають циліндричною поверхнею.

Для того, щоб скласти рівняння такої поверхні у деякій афінній системі координат, вважатимемо, що лінія задана системою рівнянь

, (1)

т обто задана, як лінія перетину двох поверхонь, а вектор заданий своїми координатами: . Нехай точка належить циліндричній поверхні. Проведемо через неї у напрямку вектора пряму, яка перетне лінію у деякій точці , (рис. 1). Очевидно, що вектори та будуть колінеарні. З рівності дістаємо співвідношення, які зв’язують координати векторів:

. (2)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності

. (3)

Підставляючи рівності (2) в (3), дістаємо

.

Одержані співвідношення містять змінний параметр , виключаючи який із системи, дістаємо деяку рівність , яка зв’язує змінні та і є шуканим рівнянням циліндричної поверхні. Лінію називають напрямною, а прямі, які перетинають та мають напрям вектора – твірними циліндричної поверхні.

Користуючись наведеним алгоритмом, складемо рівняння циліндричної поверхні, напрямною якої є лінія, що лежить в площині та має рівняння , а твірні паралельні до осі . Рівності (2) у цьому випадку матимуть вигляд

.

Підставляючи їх у систему

,

дістаємо рівняння циліндричної поверхні , яке, як бачимо, співпадає з рівнянням лінії. Вибираючи в ролі напрямних лінії другого порядку: еліпс (зокрема коло), гіперболу та параболу, дістаємо три види поверхонь другого порядку, які є частинними випадками циліндричних поверхонь: – еліптичний циліндр (зокрема – круговий циліндр, рис. ), – гіперболічний циліндр (рис. ) та – параболічний циліндр (рис. ).

2. Поняття конічної поверхні. Рівняння конічних поверхонь.

Нехай у просторі задана деяка лінія та точка .

Означення 2. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та проходять через дану точку , називають конічною поверхнею.

Знайдемо рівняння конічної поверхні, вважаючи, що лінія задана системою рівнянь

,

а точка задана своїми координатами: .

Нехай точка належить конічній поверхні. Проведемо через неї та точку пряму, яка перетне лінію в деякій точці (рис. 3).

Очевидно, що вектори та будуть колінеарні. З рівності дістаємо співвідношення, які пов’язують координати векторів:

. (4)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності

,

підставляючи в які співвідношення (4), дістаємо

.

Виключаючи з одержаних рівностей змінний параметр , дістаємо співвідношення

,

яке і є рівнянням конічної поверхні. Лінію називають напрямною, прямі, які перетинають та проходять через точку - твірними, а точку - вершиною конічної поверхні.

Складемо рівняння конічної поверхні, напрямною якої є лінія

,

тобто еліпс, розташований в площині , а вершина знаходиться у початку координат. Нехай точка належить конічній поверхні, а точка належить заданій напрямній та променю . З векторної рівності дістаємо

.

Підставивши одержані співвідношення у систему

,

отримуємо рівності

,

звідки, виключаючи параметр , дістаємо

. (5)

Одержане рівняння є рівнянням шуканої конічної поверхні. При напрямна буде колом, а рівняння (5) зведеться до виду

.

Це рівняння задає поверхню другого порядку, яку називають круговим конусом (рис. 4).