3. Загальне рівняння площини та його частинні випадки.

Рівняння (1), до якого зводяться рівняння площини в усіх розглянутих випадках, називають загальним рівнянням площини. Розглянемо особливості розташування площини відносно системи координат у випадках, коли деякі з коефіцієнтів дорівнюють нулю. При цьому будемо користуватись наступною лемою.

Лема. Для того, щоб вектор був паралельним до площини , заданої рівнянням , необхідно та достатньо, щоб виконувалася рівність

. (6)

Доведення. Нехай вектор паралельний до площини , а також точка є початком вектора . Тоді точка , для якої , теж належить площині, а її координати задовольняють рівняння площини. Тому

.

Навпаки, нехай виконується рівність Візьмемо на площині довільну точку та розглянемо точку таку, що . Тоді точка належать площині , в чому легко переконатися, підставивши її координати в рівняння площини. Отже, вектор паралельний площині .

Перейдемо до розгляду частинних випадків рівняння (1).

1). Нехай , тобто рівняння площини має вигляд Очевидно, що – розв’язок рівняння. Тому площина проходить через початок координат.

2). Нехай . Тоді рівняння площини набуває виду . Розглянемо вектор , паралельний до осі . Згідно з доведеною лемою він паралельний до площини , тому у цьому випадку площина паралельна до осі (рис. 4). Аналогічні висновки робимо при та . Тобто площина, задана рівнянням , паралельна до осі , а площина, задана рівнянням , паралельна до осі . Якщо або , то площина проходить через вісь (відповідно через вісь або вісь ).

3

). У випадку, коли , рівняння площини набуває вигляду або , де . Тоді площина , будучи паралельною до осей та , буде також паралельною до площини (рис. 5). При рівняння є рівнянням площини . Аналогічно, якщо , то рівняння задає площину, яка паралельна до площини ( ). Рівняння та є рівняннями площин та відповідно.

4. Різні способи задання прямої в просторі.

1). У загальній афінній системі координат розглянемо пряму , задану точкою та напрямним вектором . Нехай – довільна точка цієї прямої. Очевидно, що точка належить прямій тоді і тільки тоді, коли вектори та колінеарні. Із пропорційності координат цих векторів дістаємо співвідношення

, (7)

яке називають канонічним рівнянням прямої в просторі.

2). Прирівнявши одержані відношення до параметра , дістаємо

(8)

Одержані рівняння називають параметричними рівняннями прямої в просторі. Їх використовують, наприклад, у випадку, коли деякі з чисел у рівнянні (7) дорівнюють нулю.

Аналогічно до параметричних рівнянь прямої на площині (див. лекцію 7. п.2), параметр має свій геометричний зміст, а саме: якщо вектор – одиничний, тобто якщо , то число дорівнює відстані від точки до точки . Це створює додаткову можливість знаходити на прямій точки, розташовані на певній відстані від заданої. Наприклад, нехай задана пряма

.

До неї паралельний вектор , а, отже, і його орт . Задамо пряму рівняннями

, , .

Тепер, щоб знайти на прямій точки, розташовані від точки на певній відстані (нехай на відстані 6), достатньо в одержані рівняння прямої підставити . Отримуємо дві точки такі, що

3). Нехай пряма проходить через дві точки . Тоді, скориставшись рівнянням прямої у вигляді (7) та замінивши в ньому координати точки координатами точки і використавши вектор у ролі напрямного вектора , дістанемо

(9)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої в просторі, що проходить через дві задані точки.

4). У деяких випадках пряму в просторі зручно задавати, як лінію перетину двох площин, тобто у вигляді системи рівнянь

(10)

При цьому, оскільки площини повинні перетинатися, будемо вимагати, щоб коефіцієнти біля змінних в цих рівняннях не були пропорційними. Перехід від задання прямої у вигляді (10) до виду (7) або (8) можна здійснювати, знайшовши, наприклад, два довільні розв’язки системи (10), або знайшовши координати напрямного вектора прямої. Останній можна одержати, як векторний добуток векторів нормалей до даних площин, тобто векторів та .

Зробимо ще одне зауваження.

Рівність (7) можна записати у вигляді однієї із трьох систем

; ; .

Кожне з рівнянь систем є рівнянням першого степеня, тому є рівняннями площин, а відсутність однієї змінної в кожному рівнянні говорить про паралельність відповідної площини до певної координатної осі. Тому канонічне рівняння прямої (7) фактично задає пряму, як перетин трьох площин, кожна з яких паралельна до певної координатної осі.