6. Еліптичний параболоїд. Властивості. Зображення.

Еліптичний параболоїд – це поверхня, яка у деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням

. (9)

Дане рівняння називають канонічним рівнянням еліптичного параболоїда. Серед деяких властивостей цієї поверхні відмітимо, що вона симетрична відносно координатних площин , та осі . Це випливає з того, що разом з точкою поверхні належать також точки , , та . Існує єдина спільна точка поверхні та координатих осей – це початок координат. Всі інші точки поверхні розташовані над площиною .

Перерізи поверхні площинами , де , утворюють еліпси

однакової форми, півосі яких та збільшуються при зростанні . Це означає, що розміри еліпсів збільшуються, якщо площина віддаляється від площини . Площини виду та перетинають еліптичний параболоїд по параболах

та ,

вітки яких напрямлені вгору, а вершини зміщуються вверх при зростанні та . Еліптичний параболоїд зображено на рисунку 4.

Зауважимо, що дану поверхню можна одержати, виготовивши каркаси двох парабол , та рухаючи одну з них по другій так, щоб вершина рухомої параболи залишалась на нерухомій параболі . При цьому площини парабол повинні бути перпендикулярними, а їхні вітки напрямлені в одну сторону.

При площини ( ) перетинають поверхню по колах, тому рівняння задає поверхню, яку називають параболоїдом обертання з віссю обертання . Такі поверхні мають широкі технічні застосування, які ґрунтуються на так званій оптичній властивості параболоїда обертання. Зміст її полягає в тому, що якщо в точці , так званому фокусі параболоїда, помістити джерело світла, то відбиті від поверхні промені будуть поширюватися по прямих, які паралельні до осі параболоїда. Прикладами такої поверхні є різного роду антени, зокрема параболічні, рефлектори, деякі види лінз. Форму параболоїда обертання набирає вода, налита в циліндричну посудину, якщо останню обертати з певною кутовою швидкістю навколо своєї осі.

7. Гіперболічний параболоїд. Властивості. Зображення.

Гіперболічний параболоїд – це поверхня, яка задається рівнянням

. (10)

Її називають канонічним рівнянням гіперболічного параболоїда. Дана поверхня симетрична відносно координатних площин , та осі . Доведення цього твердження виконується так само, як у попередньому пункті. Очевидно, що поверхня проходить через початок координат.

Дослідимо перерізи поверхні площинами виду , тобто лінії . При перше рівняння можна подати у вигляді добутку множників, звідки дістаємо . Це означає, що поверхня перетинає площину по двох прямих, які перетинаються в початку координат. При в перерізах дістаємо гіперболи однакової форми, півосі яких збільшуються при зростанні , причому при їхні дійсні осі паралельні до осі , а при їхні дійсні осі паралельні до осі . Площини виду перетинають поверхню по параболах

,

вітки яких, як видно з рівняння, напрямлені вниз, а вершини зміщуються вверх при зростанні . Площини виду перетинають гіперболічний параболоїд по параболах

,

вітки яких напрямлені вгору, а вершини зміщуються вверх при зростанні . Гіперболічний параболоїд зображено на рисунку 5.

Той цікавий факт, що існують прямі, які належать поверхні (до речі, з цим фактом ми вже зустрічались у випадку однопорожнинного гіперболоїда), більш детально буде проаналізовано в наступній лекції, де, зокрема, буде показано, що через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда та гіперболічного параболоїда проходить дві і тільки дві прямі, які повністю належать поверхні. У даному випадку у площині лежать дві прямі, рівняння яких записуються у виді систем

та .

На рисунку 5 – це відповідно прямі та .

Зауважимо також, що подібно до випадку еліптичного параболоїда, поверхню гіперболічного параболоїда можна одержати, рухаючи параболу по параболі так, щоб вершина рухомої параболи залишалась на нерухомій параболі. При цьому площини парабол повинні бути перпендикулярними, а їхні вітки напрямлені в протилежні сторони.