4. Однопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення.

Однопорожнинний гіперболоїд – це поверхня, яка у деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням

, (7)

яке називають канонічним рівнянням однопорожнинного гіперболоїда.

Аналогічно, як і у попередньому випадку, можна довести, що координатні площини є площинами симетрії, координатні осі – осями симетрії, а початок координат – центром симетрії для однопорожнинного гіперболоїда. Поверхня перетинає координатні осі в точках , , , , а вісь – не перетинає.

Дослідимо перерізи однопорожнинного гіперболоїда. площинами, які паралельні до координатних площин. Система

задає – параметричну сім’ю ліній, проекції яких на площину запишуться у виді рівнянь . Очевидно, що при дане співвідношення визначає дві прямі , а при - параметричну сім’ю гіпербол із однаковим відношенням півосей, тобто з однаковим ексцентриситетом. Всі ці гіперболи мають однакову форму. Аналогічні висновки можна зробити про систему

.

У випадку системи

дістаємо параметричну сім’ю еліпсів однакової форми з півосями та , які лежать у площинах, паралельних до площини . При зростанні , тобто коли січні площини віддаляються від площини , півосі еліпсів збільшуються. Найменші півосі та має еліпс, який утворюється при перетині однопорожнинного гіперболоїда площиною – це так званий горловий еліпс. Зображення однопорожнинного гіперболоїда наведено на рисунку 2.

Точки , , в яких координатні осі перетинають однопорожнинний гіперболоїд, називають вершинами однопорожнинного гіперболоїда, а початок координат – його центром.

Оскільки при площини виду перетинають поверхню по колах, то рівняння задає поверхню обертання. Її називають однопорожнинним гіперболоїдом обертання з віссю обертання .

5. Двопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення.

Ще один частинний випадок рівності (3) – це рівняння

. (8)

Поверхню, задану таким рівнянням, називають двопорожнинним гіперболоїдом. Очевидно, що дана поверхня симетрична відносно координатних площин, координатних осей та початку координат. Вісь перетинає її у двох точках та . Інші дві координатні осі спільних точок із поверхнею не мають. На двопорожнинному гіперболоїді немає точок, абсциси яких задовольняють нерівність . Справді, у цьому випадку виконувалася б нерівність , а при цій умові рівність (8) неможлива. Перерізи двопорожнинного гіперболоїда площинами , де , утворюють еліпси однакової форми, півосі яких та збільшуються при зростанні , тобто, коли площина віддаляється від площини . Площини виду та перетинають поверхню по лініях

та

_,

які, очевидно, є гіперболами з півосями, що збільшуються при зростанні та . Зображення двопорожнинного гіперболоїда наведено на рисунку 3.

Зауважимо, що при площини ( ) перетинають поверхню по колах. У цьому випадку ми отримуємо поверхню, яка задається рівнянням і називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання з віссю обертання .