2. Дослідження поверхні другого порядку за допомогою плоских перерізів.

Перше, ніж перейти до розгляду окремих поверхонь, розглянемо один із способів їх дослідження – так званий метод перерізів. Насамперед зауважимо, що система рівнянь

(4)

задає в просторі деяку лінію , оскільки вона визначає певну множину точок, які одночасно належать поверхням та . Наприклад, система

задає в просторі коло, яке утворюється при перетині сфери та площини. Необхідний при цьому факт, що сфера та площина перетинаються, випливає з того, що радіус сфери більший, ніж відстань від центра сфери до площини.

Нехай точка належить лінії , а також рівняння можна подати у виді . Система

(5)

рівносильна системі (4), отже, визначає в просторі ту саму лінію . Очевидно, що перше рівняння системи (5), крім точки , задовольняють також координати кожної точки , де – довільне. Серед таких точок буде також точка , що належить площині . Оскільки кожна точка проектується у відповідну точку , то рівняння можна розглядати, як ортогональну проекцію лінії на площину . Аналогічно, якщо виникає потреба спроектувати лінію на площину , достатньо виключити із системи (4) змінну , а при проектуванні лінії на площину , достатньо виключити із системи (4) змінну . Наприклад, проекцією кола

на площину буде лінія, рівняння якої на площині має вигляд

,

або

.

Не займаючись дослідженням одержаного рівняння, зауважимо, що воно, очевидно, задає еліпс.

Дальше при дослідженні поверхні (1) ми будемо перетинати її різними площинами (зокрема такими, які паралельні до координатних площин) та, проектуючи лінії перетину на координатні площини, робити висновки про форму поверхні. Перейдемо до розгляду частинних випадків рівняння (3).

3. Еліпсоїд. Властивості. Зображення.

Еліпсоїд – це поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням

. (6)

Дане рівняння називають канонічним рівнянням еліпсоїда. Опишемо деякі властивості еліпсоїда, які безпосередньо випливають із рівняння (6).

Властивість 1. Еліпсоїд симетричний відносно початку координат, координатних площин та осей.

Для доведення властивості 1 достатньо побачити, що разом з точкою даній поверхні належать також точки

, , , ,

, та .

Встановлений факт означає, що координатні площини є площинами симетрії, координатні осі – осями симетрії, а початок координат – центром симетрії для еліпсоїда.

Властивість 2. Еліпсоїд перетинає координатні осі в точках , , , , , .

Доведення властивості 2 очевидне.

Властивість 3. Точки еліпсоїда розташовані всередині прямокутного паралелепіпеда, який визначається системою нерівностей

.

Для доведення властивості 3 припустимо, що для точок, які належать еліпсоїду, виконується умова . Звідси маємо , а це суперечить рівності (6), оскільки у цьому випадку вона неможлива. Отже, для всіх точок еліпсоїда виконується умова . Аналогічно доводяться друга та третя нерівності системи.

Перейдемо до дослідження перерізів еліпсоїда площинами, що паралельні до координатних площин. Система

визначає сім’ю ліній, проектуючи які на площину , дістаємо лінії, які задаються рівняннями

.

Якщо , то це рівняння задає параметричну сім’ю еліпсів з півосями та . Оскільки відношення півосей, яке визначає ексцентриситет, а, отже, і форму еліпса, не залежить від , то всі еліпси мають однакову форму. Найбільший із еліпсів отримаємо при . Він знаходиться у площині . При зростанні від 0 до півосі еліпса зменшуються і він стягується в точку при . Аналогічно, системи рівнянь

_,

задають та параметричні сім’ї еліпсів, які лежать у площинах, паралельних до площин та . Виконані дослідження дозволяють зобразити дану поверхню (рис. 1).

Точки та називають вершинами еліпсоїда, початок координат – його центром, а числа та – півосями еліпсоїда. Оскільки при площини перетинають еліпсоїд по колах, то рівняння

задає поверхню обертання. Її називають еліпсоїдом обертання з віссю обертання . Аналогічно, рівняння та задають еліпсоїди обертання з осями обертання та відповідно. При рівняння виражає сферу.