6. Історія виникнення назв конічних перерізів.

Лінії, які ми зараз називаємо еліпсом, гіперболою та параболою відомі людству, як ми уже відмічали, більше двох тисячоліть. Одна із перших задач, яку розв’язували тоді з використанням параболи, полягала у відшуканні сторони квадрата, рівновеликого даному прямокутнику. Якщо сторони прямокутника позначити через та , а сторону квадрата – через , то в сучасних позначеннях задача зведеться до відшукання із рівняння . Сьогодні складність такої задачі можливо викличе тільки усмішку, але тоді, коли не було ні поняття змінних, ні поняття степеня та квадратного кореня, поставлену проблему розв’язували наступним чином.

Нехай у розпорядженні дослідника є парабола, рівняння якої має вигляд . Прикладемо до осі прямокутник стороною, довжина якої (рис. 13). Після цього через його паралельну сторону проведемо пряму до перетину з параболою. Відстань від одержаної точки перетину до осі є шуканою.

Т епер зрозуміло, чому у перекладі з древньогрецької термін “парабола” ( ) означає “прикладання”. Якщо замість параболи використати гіперболу або еліпс, які мають з даною параболою спільну вершину та фокус, то у випадку гіперболи знайдемо відрізок, який більший від шуканої сторони квадрата, а у випадку еліпса – менший. Звідси термін “гіпербола” означає “перебільшення”, а термін “еліпс” – “недостача”.

Лекція 16. Деякі поверхні другого порядку. Їхні канонічні рівняння, властивості та зображення

План

1. Загальне рівняння поверхні другого порядку. Сфера та її рівняння.

2. Дослідження поверхні другого порядку за допомогою плоских перерізів.

3. Еліпсоїд. Властивості. Зображення.

4. Однопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення.

5. Двопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення.

6. Еліптичний параболоїд. Властивості. Зображення.

7. Гіперболічний параболоїд. Властивості. Зображення.

1. Загальне рівняння поверхні другого порядку. Сфера та її рівняння.

Розглянемо довільне рівняння з трьома змінними

. (1)

Нагадаємо, що його називають рівнянням деякої поверхні , якщо координати кожної точки поверхні в деякій афінній системі координат задовольняють рівняння (1), а також кожний розв’язок рівняння (1) задає точку на поверхні. Деякі випадки поверхонь та їх рівнянь нам уже знайомі. Зокрема, рівняння першого степеня

,

де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, визначає площину, а рівняння

задає сферу з центром у точці , радіус якої . Водночас із шкільного курсу геометрії нам також відомі і інші поверхні, зокрема такі, як циліндр та конус, тому хоча б з точки зору аналітичної геометрії нас повинно зацікавити питання про те, якими рівняннями описуються ці поверхні.

Дальше ми будемо розглядати поверхні другого порядку, тобто поверхні, які задаються рівнянням

, (2)

де – деякі числові коефіцієнти, причому одночасно не дорівнюють нулю. Рівняння (2) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку. У лекції 25 ми доведемо той факт, що завжди можна вибрати напрямки координатних осей так, щоб у перетвореному рівнянні поверхні були відсутні доданки, які містять добутки та . Тому, не зменшуючи загальності, будемо розглядати рівняння (1) у виді

, (3)

а також вважати, що система координат, в якій розглядається поверхня, – прямокутна декартова.

Розглянемо частинний випадок рівняння (3), коли . Рівняння запишемо у вигляді

,

де . Очевидно, що при дане рівняння визначає сферу з центром в точці , радіус якої . При рівняння визначає сферу нульового радіуса (в цьому випадку поверхні належить єдина точка ), а при координати жодної точки простору не задовольняють рівняння. Поверхню, задану таким рівнянням, називають уявною сферою.