Лекція 15. Поняття полярних координат. Рівняння конічних перерізів у полярних координатах

План

1. Поняття полярних координат.

2. Зв'язок між полярними та прямокутними декартовими координатами.

3. Відстань між двома точками та площа трикутника у полярних координатах.

4. Рівняння деяких ліній у полярних координатах.

5. Рівняння конічних перерізів.

6. Історія виникнення назв конічних перерізів.

1. Поняття полярних координат.

Розглянемо на площині довільний промінь з початком у точці та відкладемо на ньому одиничний відрізок.

Промінь із вибраною на ньому одиницею вимірювання називають полярною системою координат.

При цьому точку називають полюсом, а промінь – полярною віссю системи координат.

Н ехай – довільна точка площини. Позначимо через відстань від неї до точки , а орієнтований кут між вибраним променем та променем – через . Очевидно, що положення точки на площині однозначно визначається числами та . Їх називають полярними координатами точки та записують у виді . Число називають полярним радіусом, а число – полярним кутом точки (рис. 1). Очевидно, що за змістом введених означень . Полярний кут в основному вибирають із одного з проміжків або . В окремих випадках на кут обмежень не накладають і він може змінюватися від до .

Якщо і , де , , то точки з координатами та співпадають.

І ноді використовуються узагальнені полярні координати, коли на полярний радіус не накладають обмежень і вважають, що . При цьому, якщо , то вважають, що узагальнені полярні координати співпадають із полярними координатами. При вважають, що точка співпадає з точкою .

При фіксованому полярному куті та зміні полярного радіуса від до точка пробігає всю пряму, яка проходить через полюс та утворює кут з полярною віссю. На рисунку 2 у полярній системі координат зображені точки , , , .

2. Зв'язок між полярними та прямокутними декартовими координатами.

Встановимо зв'язок між полярними та прямокутними декартовими координатами однієї і тієї ж точки. Для цього накладемо на полярну систему координат прямокутну декартову так, щоб вісь містила полярну вісь, а початок координат співпадав з полюсом (рис. 3).

Нехай – полярні, а – прямокутні декартові координати деякої точки . Очевидно, що виконуються співвідношення

, (1)

які виражають прямокутні декартові координати через полярні. Рівності

(2)

д озволяють виразити полярні координати точки через її декартові координати.

В окремих випадках перехід від однієї системи координат до іншої дозволяє суттєво спростити рівняння деяких ліній, що створює переваги при побудові цих ліній, а також при певних обчисленнях, зв’язаних із визначенням деяких кількісних характеристик ліній.

3. Відстань між двома точками та площа трикутника у полярних координатах.

Р озглянемо окремі співвідношення, які випливають із означення полярних координат.

Нехай у полярній системі координат задані дві точки та (рис. 4). Довжину відрізка обчислимо, застосувавши до трикутника теорему косинусів:

. (3)

Якщо точки та лежать на одній прямій і не утворюють трикутник, то у випадку, коли точка лежить поза відрізком маємо . Якщо ж точка належить відрізку , то . Обидва одержані співвідношення є частинними випадками формули (3), оскільки у першому випадку , а у другому .

Нехай координатами своїх вершин заданий довільний трикутник : , , причому (подвійна рівність не допускається, оскільки у цьому випадку точки не будуть утворювати трикутник). Обчислимо його площу .

При розташуванні вершин трикутника так, як зображено на рис. 5_а, дістаємо

=

. (4)

У випадку, зображеному на рис. 5_б, маємо , що відповідає співвідношенню (4).

Якщо ж задані точки розташовані так, як зображено на рис. 5_в, то

.

Але, оскільки тут кут між сторонами та дорівнює , а його синус дорівнює , то і у цьому випадку має місце рівність (4).

Таким чином, в усіх розглянутих випадках площу трикутника можна знаходити, як модуль правої частини рівності (4).