6. Дотична до лінії другого порядку.

Нехай на площині задано деяку лінію та – довільна точка на ній. Січна ( ) при русі точки по буде змінювати своє положення.

Граничне положення січної , коли точка , рухаючись по , необмежено наближається до точки , називають дотичною до лінії у точці (на рис. 7 – пряма ), а точку називають точкою дотику.

І з курсу математичного аналізу відомо, що якщо лінія задана рівнянням , а функція диференційовна в точці , то рівняння дотичної до лінії в точці запишеться у вигляді

. (4)

С

Рис. 8

кладемо рівняння дотичної до еліпса : у деякій точці (рис. 8). Нехай та . Тоді рівняння еліпса можна задати співвідношенням . Скориставшись рівністю (4), запишемо рівняння дотичної у вигляді або . Оскільки , то виконується рівність . Тому після нескладних перетворень одержане рівняння дотичної можна записати у вигляді

. (5)

Аналогічне співвідношення отримуємо при , коли рівняння еліпса запишеться у виді . У випадку, коли (тоді не існує і скористатися попередніми міркуваннями не можна), рівняння дотичних запишуться у виді , що є частинним випадком співвідношення (5).

Доведення останнього твердження здійснюється аналогічно, якщо рівняння еліпса записати у виді . Отже, в усіх випадках рівняння (5) є рівнянням дотичної до еліпса, проведеної у точці .

Рівняння дотичної до гіперболи : у точці записується у вигляді

. (6)

Доведення аналогічне до попереднього.

Розглянемо параболу , задану рівнянням , або та точку . Скориставшись рівнянням дотичної у виді

,

дістаємо . Оскільки , то рівняння дотичної отримуємо у вигляді

. (7)

Отже, співвідношення (7) є рівнянням дотичної до параболи у заданій на ній точці .

Покажемо простий шлях побудови дотичної до параболи, якщо задане зображення параболи та точка дотику. Нехай дотична до параболи, рівняння якої , перетинає вісь у точці . Тоді , звідки

.

Це означає, що для побудови дотичної досить провести пряму через точку дотику та точку на осі .

7. Оптичні властивості ліній другого порядку.

До числа найбільш цікавих властивостей еліпса, гіперболи та параболи відносяться їхні так звані оптичні властивості. Вони фактично обґрунтовують фізичне походження назви “фокуси”. Сформулюємо та доведемо ці властивості.

Оптична властивість еліпса. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркального еліпса та відбиваються від нього, проходять через другий фокус.

Оптична властивість гіперболи. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркальної гіперболи та відбиваються від неї, поширюються по прямих, що проходять через другий фокус.

Оптична властивість параболи. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркальної параболи та відбиваються від неї, поширюються по променях, які паралельні до осі параболи.

Д ля доведення цих властивостей достатньо довести, що дотична, проведена у довільній точці , що належить лінії, утворює однакові кути із фокальними радіусами у випадку еліпса та гіперболи, а у випадку параболи – однакові кути з фокальним радіусом та віссю параболи (рис. 9 та рис. 10).

Спочатку доведемо оптичну властивість еліпса. Нехай дана лінія задана канонічним рівнянням , а також - довільна точка на еліпсі. Рівняння дотичної, проведеної в точці , як ми знаємо, запишеться у виді . Фокуси еліпса будуть розташовані у точках та . Нехай вектор , який перпендикулярний до дотичної, утворює із векторами та відповідно кути та . Тоді

.

Аналогічно,

.

Зауважимо, що при виконанні перетворень попередніх виразів було використано відомі нам вирази для фокальних радіусів еліпса, а саме:

, .

Оскільки . то , що доводить оптичну властивість еліпса.

Доведення оптичної властивості гіперболи виконується аналогічно.

Розглянемо доведення оптичної властивості параболи. Нехай – рівняння параболи, точка – фокус, – точка на параболі. Тоді рівняння дотичної у точці запишеться у виді . Для доведення того, що дотична утворює однакові кути із фокальним радіусом та віссю , покажемо, що вектор нормалі дотичної утворює однакові кути з вектором та вектором , який паралельний до осі (рис. 10). Нехай утворює кут з вектором та кут з вектором . Тоді

,

,

отже, , звідки . Одержаний результат доводить оптичну властивість параболи.