3. Властивості та зображення параболи.

Розглянемо канонічне рівняння параболи

. (3)

Нагадаємо, що p – це відстань від фокуса параболи (точки ) до директриси, рівняння якої . Розглянемо деякі властивості параболи, які випливають із її канонічного рівняння.

Оскільки , то , отже, парабола розташована у правій відносно осі півплощині.

Якщо точка належить параболі, то точка теж належить даній лінії, тобто парабола симетрична відносно осі . Цю пряму називають віссю параболи. Існує єдина точка перетину параболи з координатними осями – точка . Її називають вершиною параболи.

У першій координатній чверті рівняння параболи задається рівнянням . Дана функція монотонно зростає, залишаючись опуклою вверх, оскільки вирази для її похідних при

, .

Проведені міркування дозволяють побудувати зображення параболи (рис. 5).

Параметричні рівняння параболи можуть мати вигляд , , .

Точки параболи можна отримувати наступним чином. Будують коло з центром у точці F радіусом та на відстані R від директриси у півплощині, що містить точку , проводять паралельну до неї пряму. Точки перетину побудованих кола та прямої належать параболі .

4. Поняття ексцентриситету.

Число називають ексцентриситетом еліпса та гіперболи. Нагадаємо, що число дорівнює відстані між фокусами, а – велика піввісь еліпса або дійсна піввісь гіперболи. Для еліпса , тому його ексцентриситет менший 1. Для гіперболи , отже, . Ексцентриситет параболи за означенням приймають рівним 1. Обґрунтуванням цього означення є так звана директоріальна властивість еліпса та гіперболи, яку буде розглянута у наступному пункті. Дослідимо, як залежить від зміни ексцентриситету форма лінії.

Для еліпса , тому . Якщо , то і довжини півосей вирівнюються. Форма еліпса при цьому наближається до кола.

Якщо , то , тобто еліпс стискається до осі .

Для рівняння гіперболи виконується рівність , тому

.

Якщо , то , тобто асимптоти утворюють з віссю все менший кут: гіпербола стискається до осі . Якщо , то . У цьому випадку кут між асимптотами прямує до розгорнутого, а гіпербола стає все більш “витягнутою” вздовж осі .

5. Поняття директрис. Директоріальна властивість ліній другого порядку.

Директрисою параболи ми називали пряму, задану рівнянням . Директрисами еліпса та гіперболи, які задані рівняннями (1) та (2), називають прямі .

Для еліпса , тому , а для гіперболи , тому , отже, директриси не перетинають ці лінії.

Будемо називати директрису d відповідною фокусу F, якщо вони лежать в одній півплощині відносно осі .

Теорема. Відношення відстаней від довільної точки еліпса (гіперболи) до фокуса та відповідної директриси є стала величина, рівна ексцентриситету.

Доведення. Доведемо теорему у випадку еліпса (для гіперболи доведення аналогічне). Враховуючи симетричність еліпса, розглянемо випадок правого фокуса F₁(c;0) та відповідної директриси , рівняння якої (рис. 6). Нехай – довільна точка еліпса . Тоді, враховуючи вирази для фокальних радіусів, маємо

MF₁= .

Обчислимо відстань від точки М до директриси d:

.

При розкритті модуля враховано, що та , звідки . Отже, . Теорема доведена.

Для параболи (враховуючи означення) відстані від її довільної точки до фокуса та до директриси рівні, тому їх відношення дорівнює 1. Це обґрунтовує той факт, що ексцентриситет параболи приймають рівним 1.

Властивість, яку виражає доведена теорема, називають директоріальною властивістю ліній другого порядку (еліпса, гіперболи, параболи).