5. Приклади.

Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця точок площини, рівновіддалених від прямої та точки .

Розв’язання. Нехай М(x; y) – одна із точок шуканого геометричного місця точок. Тоді відстань від неї до прямої d буде дорівнювати

.

Оскільки відстань між точками M та F дорівнює , то, згідно із умовою задачі, виконується рівність = , перетворюючи яку дістаємо

,

або

.

Оскільки вірні перетворення і у зворотному порядку, то одержане співвідношення є рівнянням шуканої множини точок. Відмітимо, що одержане рівняння є рівняння лінії другого порядку, а також, що дана лінія є парабола (відповідно до означення параболи).

Відповідь. .

Задача 2. Знайти координати фокусів еліпса та фокальні радіуси точок з абсцисою 2.

Розв’язання. Записавши рівняння еліпса у канонічному виді та порівнюючи його з рівнянням (6), отримаємо , . Тому , звідки , , . Скориставшись виразами для фокальних радіусів (7) та (8), дістаємо

.

Відповідь.

Задача 3. Вершина трикутника, який має нерухому основу, переміщається так, що периметр трикутника не змінюється. Написати рівняння лінії, по якій рухається ця вершина, якщо відомо, що основа дорівнює 24, а периметр трикутника рівний 50.

Розв’язання. Оскільки сума відстаней від рухомої вершини до кінців нерухомої основи не змінюється, то траєкторією руху буде еліпс. Якщо вісь направити вздовж основи, а вісь провести через середину основи, перпендикулярно до осі , то в одержаній системі координат рівняння траєкторії третьої вершини матиме вигляд . За змістом задачі , тому , . Відповідь.

Задача 4. Знайти геометричне місце центрів кіл, що дотикаються до двох заданих кіл, розташованих одне поза другим.

Розв’язання. Нехай коло з центром у точці та радіусом

дотикається до заданих кіл і , центри яких знаходяться у точках та , а радіуси дорівнюють та ( ).

У випадку, коли задані кола розташовані одне поза другим і коло дотикається до заданих зовнішнім чином (рис. 3 ), виконується рівність

,

із якої, відповідно до означення гіперболи, випливає, що точка при умові, що коло змінює своє положення, рухається по одній із двох віток гіперболи. Другу вітку гіперболи утворюють центри кіл, які дотикаються до двох заданих та містять їх всередині (рис. 3 ), оскільки у цьому випадку виконується рівність

.

Якщо коло дотикається до одного із заданих кіл внутрішнім чином, а другого зовнішнім (рис. 4), то буде виконуватися рівність

,

з якої випливає, що центри кіл належать гіперболі. Обидві гіперболи мають фокуси, які розташовані у центрах заданих кіл, а дійсні осі у них різні: у першому випадку , а у другому . Аналогічний результат ми отримаємо, коли задані кола перетинаються.

Лекції 13, 14. Вивчення властивостей еліпса, гіперболи та параболи за канонічними рівняннями

План

1. Найпростіші властивості еліпса та його зображення.

2. Найпростіші властивості гіперболи та її зображення.

3. Властивості та зображення параболи.

4. Поняття ексцентриситету.

5. Поняття директрис. Директоріальна властивість ліній другого порядку.

6. Дотична до лінії другого порядку.

7. Оптичні властивості ліній другого порядку.

1. Найпростіші властивості еліпса та його зображення.

Як було встановлено вище, канонічне рівняння еліпса записується у вигляді

, (1)

де 2а – сума відстаней від довільної точки еліпса до фокусів та , .

Розглянемо деякі властивості еліпса.

Насамперед, аналізуючи рівняння (1), зробимо висновок, що для його розв’язків виконуються умови , тобто , . Одержані нерівності означають, що всі точки еліпса розташовані всередині прямокутника із сторонами та .

Якщо точка , то , і . Тому еліпс симетричний відносно координатних осей та початку координат.

При із рівняння (1) одержуємо . При дістаємо . Отже, еліпс перетинає вісь у точках та , а вісь – у точках , . Ці чотири точки називають вершинами еліпса. Відрізки та називають відповідно великою та малою осями еліпса. Точку їх перетину О називають центром еліпса. Відрізки та називають відповідно великою та малою півосями еліпса.

В раховуючи симетричність еліпса, дослідимо його форму за допомогою виразу , який визначає рівняння еліпса у першій чверті. Оскільки

,

та обидва вирази при від’ємні, то у першій чверті графік еліпса при зростанні від 0 до а спадає від точки до точки , залишаючись опуклим вверх.

Зображення еліпса наведено на рисунку 1.

Розглянемо лінію , задану параметричними рівняннями

, , . (2)

Оскільки

,

то ці рівняння теж задають еліпс. Їх називають параметричними рівняннями еліпса. Покажемо, як за допомогою рівнянь (2) будувати точки еліпса. Побудуємо два кола з центром в точці , радіуси яких та ( і через точку проведемо деякий промінь, який утворює з додатнім напрямком осі кут (рис. 2). Нехай цей промінь перетинає велике та мале кола в точках , відповідно. Через точку проведемо пряму, паралельну до осі , а через точку – пряму, паралельну до осі . Точка їх перетину належить еліпсу, оскільки , .