Лекція 9. Різні способи задання прямої та площини в просторі

План

1. Геометричні образи рівнянь першого степеня із трьома змінними.

2. Різні способи задання площини.

3. Загальне рівняння площини та його частинні випадки.

4. Різні способи задання прямої в просторі.

5. Задачі.

1. Геометричні образи рівнянь першого степеня із трьома змінними.

Рівняння з трьома змінними вигляду визначає в просторі деяку поверхню. Розглянемо випадок, коли це рівняння першого степеня відносно змінних та , тобто записується у вигляді

. (1)

Тут – деякі числові коефіцієнти, які одночасно не дорівнюють нулю (тобто виконується умова ), – довільне число.

Покажемо, що це рівняння визначає в просторі деяку площину. Нехай у рівнянні (1) та – один із розв’язків цього рівняння. Введемо в розгляд два не колінеарні вектори та та відкладемо їх від точки . Нехай та . Тоді точки та матимуть наступні координати: .

Підставляючи координати точки у рівняння (1), дістаємо

_,

тобто точка належить поверхні. Аналогічні обчислення виконуються для точки . Отже, обидві точки належать поверхні (1).

Нехай – довільний розв’язок (1) а – відповідна точка на поверхні. Обчисливши мішаний добуток векторів та , дістаємо

,

що доводить компланарність векторів. Тому точки та лежать в одній площині.

Навпаки, для довільної точки , що належить побудованій площині, міркуючи аналогічно, отримуємо, що , тобто координати цієї точки є розв’язком рівняння (1).

Отже, рівняння (1) визначає в просторі деяку площину.

2. Різні способи задання площини.

1). Складемо рівняння площини у довільній афінній системі координат у тому випадку, коли вона задається перетином двох прямих.

Н ехай – спільна точка цих прямих, а два не колінеарні вектори та задають їхні напрямки (рис. 1). Точка належатиме площині, визначеній даними прямими, тоді і тільки тоді, коли вектори та будуть компланарними, тобто коли їхній мішаний добуток дорівнюватиме нулю.

З умови дістаємо рівність

(2)

яка і є шуканим рівнянням площини.

Рівняння (2) можна записати у вигляді (1). У цьому випадку

, , .

Одержані коефіцієнти не можуть одночасно дорівнювати нулю, оскільки тоді, як легко перевірити, вектори та були б колінеарними. Тому рівняння (2) є рівнянням першого степеня.

2). Нехай площина задана трьома точками , які не лежать на одній прямій. Тоді, скориставшись рівнянням (2), в якому покладемо

, ,

а замість точки використаємо точку , дістанемо рівняння

. (3)

Одержане співвідношення називають рівнянням площини, яка проходить через три задані точки.

3 ). Нехай площина відтинає на осях відрізки відповідно (рис.2). У цьому випадку для того, щоб скласти рівняння площини, введемо в розгляд точки та скористаємось попереднім результатом, тобто рівнянням (3). Дістаємо

,

або . Звідси, поділивши на , отримуємо

(4)

Одержане рівняння називають рівнянням площини у відрізках на осях.

4 ). Нехай задана прямокутна декартова система координат . Розглянемо деяку площину із заданою на ній точкою та вектором який перпендикулярний до площини (рис.3). Точка належатиме площині тоді і тільки тоді, коли вектори та будуть перпендикулярними, тобто коли виконується умова . Обчисливши скалярний добуток векторів та , отримаємо рівність

. (5)

Одержане рівняння є рівнянням площини, яка проходить через задану точку, перпендикулярно до даного напрямку. Порівнюючи рівності (1) та (5), можна зробити наступний висновок: у прямокутній декартовій системі координат коефіцієнти біля змінних та у рівнянні площини визначають вектор , який перпендикулярний до площини.