3.1 Сызықтық жүйелер

Көптеген қолданбалы және таза математикалық есептер жиыны сызықтық алгебралық жүйелерді шешудің қажеттілігіне әкеледі. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу есептеу математикасының қажетті есептерінің бірі болып табылады.

Алгебра курсынан белгілі, жүйедегі белгісіздер саны теңдеулер санынан артық немесе тең болуы мүмкін. Біз тек белгісіздер саны теңдеулер санына тең болатын жүйені қарастырамыз. белгісізі бар сызықтық алгебралық теңдеулердің жүйесін жазайық:

(1)

Жүйенің коэффициенттерінен құралған матрицаны жүйенің негізгі матрицасы ( ретті квадраттық матрица) деп атайды:

(2)

ал жүйенің коэффициенттері мен бос мүшелерінен құрылған матрицаны жүйенің кеңейтілген матрицасы деп атайды:

(3)

матрицасы ұғымын пайдаланып, (1) теңдеулер жүйесін матрицалық түрде жазуға болады:

(4)

мұндағы, және - белгісіздердің және бос мүшелердің векторлық-бағандары:

,

Теңдеулер жүйесінен әртүрлі матрицалар алынады, мысалы:

; ; ;

Мұнда, А – симметриялық матрица (оның элементтері бас диагоналға қатысты симметриялы орналасқан ( )).

- жоғары үшбұрышты матрица (бас диагоналдан төмен орналасқан элементтер нөлге тең);

Е – бірлік матрица; О – нөлдік матрица.

3.2 Сызықтық жүйелерді шешу әдістері туралы

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері екі топқа бөлінеді: тура және итерациялық.

Тура әдістер белгісіздерді есептеу үшін шектеулі қатынастар (формулалар) пайдаланады. Олар алдын ала белгілі амалдарды орындаудан кейін шешімді береді. Бұл әдістер қарапайым және әмбебап болып табылады. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің тура әдістерін кейде дәл әдістер деп атайды, өйткені шешім жүйенің коэффициенттері арқылы дәл формулалар түрінде өрнектеледі. Бұл әдістерге:

• анықтауыштар әдісі (Крамер әдісі);

• матрицалық шешім: (егер кері матрица белгілі болса);

• белгісіздерді біртіндеп жою әдісі (Гаусс әдісі).

Итерациялық әдістер – біртіндеп жуықтау әдістері. Мұнда жуықталған шешімін беру керек – бастапқы жуықтау. Бұдан кейін алгоритм көмегімен есептеудің бір циклі жүргізіледі (итерация деп аталады). Итерация нәтижесінде жаңа жуықтау алынады. Итерация талап етілетін дәлдікпен шешім алынғанға дейін жүргізіледі. Итерациялық әдістерді пайдаланып сызықтық теңдеулерді шешудің алгоритмдері тура әдістермен салыстырғанда өте күрделі.

3.3 Гаусс әдісі

Гаусс әдісі (3) кеңейтілген матрицаны үшбұрышты түрге келтіруге негізделген. Бұл жүйенің теңдеулерінен белгісіздерді біртіндеп жоюмен жүзеге асырылады. Гаусс әдісінің мәні – (1) жүйені оған мәндес үшбұрышты матрицалы жүйеге түрлендіру болып табылады, кейін біртіндеп (кері жүріс) барлық белгісіздердің мәндері алынады.

(1) жүйені келесідегідей түрлендірейік. (жүргізуші элемент) деп алып, бірінші теңдеудің коэффициенттерін -ге бөлеміз:

(5)

(5) теңдеуді пайдаланып, жүйенің басқа қалған теңдеулерінен белгісізін оңай жоюға болады (ол үшін алдын ала -дің сәйкесінше коэффициентін (5) теңдеуге көбейтіп, әр теңдеуден азайтсақ жеткілікті).

Бірінші теңдеуді сол қалпында қалдырып, қалған теңдеулерге осындай түрлендірулер жасаймыз: теңдеулерден жүргізуші элементімен теңдеуді таңдап, оның көмегімен қалған теңдеулерден белгісізін жоямыз. Осы үрдісті қайталай отырып, берілген жүйеге мәндес үшбұрышты матрицалы жүйені аламыз:

(6)

(6) жүйеден біртіндеп белгісіздерінің мәндері табылады.

Сонымен (1) жүйені Гаусс әдісімен шешу үрдісі екі кезеңге бөлінеді. Бірінші кезең, белгісіздерді біртіндеп жою – тура жүріс деп аталады. Есептеудің екінші кезеңі – белгісіздердің мәндерін табу – кері жүріс деп аталады.

Мысал 1. Сызықтық теңдеулер жүйесін шеш:

Жүйенің шешімін кесте түрінде көрсетейік:

Бөлім				Бос мүшелер
А	2,34 8,04 3,92	-4,21 5,22 -7,99	-11,61 0,27 8,37	14,41 6,44 55,56	/ 2,34
	1	-1,799	-4,962	6,158
А1		19,685 -0,938	40,161 27,819	-55,951 31,420	/ 19,685
		1	2,040	-2,842
А2			29,732	28,756	/ 29,732
			1	0,967
В	1	1	1	0,967 -4,816 2,293

Кестенің А бөліміне берілген жүйенің коэффициенттері және бос мүшелері енгізіледі. А бөліміндегі бірінші жолдың элементтерін жүргізуші элемент 2,34 –ке бөліп төртінші жолға жазамыз. Осы төртінші жолды пайдаланып, осы бөлімнің екінші және үшінші жолды түрлендіруге көшеміз (жүйенің 2-ші және 3-ші теңдеуінен белгісізін жоямыз). Осы түрлендірудің нәтижелері А₁ бөлімнің сәйкесінше бірінші және екінші жолдарын береді.

Мысалы, А₁ бөлімнің бірінші жолын алу үшін, А бөліміндегі төртінші жолға (-8,04)-ті көбейтіп екінші жолға қосамыз, ал А₁ бөлімнің екінші жолын алу үшін, А бөліміндегі төртінші жолға (-3,92)-ні көбейтіп үшінші жолға қосамыз.

А₁ бөлімдегі үшінші жолдың элементтері бірінші жолды жүргізуші элемент 19,685-ке бөлуден шығады, содан кейін А₂ бөлімнің жолдары толтырылады.

А₂ бөлімімен тура жүріс аяқталады. Бос мүшелер бағанында мәні алынады. Басқа белгісіздерінің мәндерін біртіндеп кері жүріспен табамыз:

.

Белгісіздерді табу үрдісі кестенің В бөлімінде берілген.

Мысал 2. СТЖ кестелік процессор Excel көмегімен шеш:

Тапсырма 4. Гаусс әдісін пайдаланып, 0,001 дәлдігімен жүйені шеш. Программа құрастыр: