2.2 Алгебралық және трансценденттік теңдеулердің түбірлерін айыру

Айталық бізге

түріндегі теңдеу берілсін. Мұндағы – алгебралық немесе трансценденттік функция. Егер біз функциясының графигін пайдалансақ, онда теңдеудің түбірлері жуықтап алғанда, абсцисса осімен қиылысу нүктелері болмақ. Есепті ықшамдау арқылы, берілген теңдеуді оған мәндес

теңдеуімен алмастыруға болады. Мұндай жағдайда және функцияларының графиктері салынып, Ох осіндегі осы графиктердің қиылысу нүктелерін көрсететін кесінділері белгіленеді.

Мысал 1. теңдеуінің түбірлерін айыру керек.

Түбірлерін графикалық түрде айыру үшін, оны оған мәндес түрге келтіреміз. және функцияларының графиктерін жеке-жеке саламыз.

Графикке қарап, оның бір түбірі болатынын көреміз және ол кесіндісінде жатады.

Түбірлерді айыру туралы есептерді шешу барысында келесі жайттардың пайдасы бар:

1. Егер кесіндісінде үздіксіз функциясы, оның шеткі нүктелерінде әртүрлі таңбалы мәндер қабылдаса (яғни ) , онда берілген теңдеудің осы кесіндіде кем дегенде бір түбірі бар болады.

2. Егер функциясы монотонды (кемімелі немесе өспелі) болса, кесіндісіндегі түбір жалғыз ғана болады.

Тексеру үшін функциясының кесіндісінің шеткі нүктелеріндегі мәндерін есептейік: ; . Байқауымызша, кесіндісінде түбірдің болатынын аламыз.

Қарапайым жағдайда, түбірлерді графикалық айыруды қолмен еептеуге болады, кейде күрделі жағдайларда теңдеудің түбірі берілген кесіндіде болуын (санын) анықтауда компьютердің қолданбалы бағдарламасын пайдалануға немесе программалау тілінде программа құрастыруға болады.

Айталық теңдеуінің барлық түбірлері кесіндісіне тиісті болсын, яғни . Бізге теңдеудің түбірлерін айыру керек, яғни бір түбірден жататын барлық кесінділерді көрсету керек.

-тің мәнін нүктесінен бастап оң жаққа қарай қандайда бір қадаммен қозғала отырып есептейміз.

-тің көршілес екі әртүрлі таңбалы мәндері пайда болған кезде, алынған кесіндіге түбір тиісті болатынын аламыз.

Теңдеудің шешімін программалау тілі көмегімен қарастырайық. Осыған сәйкес келетін алгоритмнің жалпы схемасын көрсетейік. Қойылған есептің нәтижесі экранда көрсетілген және параметрлерінің мәндері (белгіленген кесіндінің шеткі нүктелері) болады.

Мысал 2. теңдеуінің кесіндідегі түбірлерін 0,1 қадаммен бөліктерге бөліңдер.

Бұл есепті Excel көмегімен шешуге болады. Компьютер экранында функциясының графигінен басқа мәндері анықталған кесте және одан 0,1 қадаммен жеті бөлінген кесінділердің нәтижесін алуға болады: ; ; ; ; ; ; .

Түбірлерді айыру алгоритмінің схемасы бойынша программаны оңай құрастыруға болады. Төменде Turbo Pascal тілінде құрылған программаны ұсынамыз:

Program Separat_root;

uses crt;

var a,b,x1,x2,y1,y2,h:real; n,k:integer;

function f(x:real):real; {уравнение вида F(x)=0}

begin f:=cos(x)-0.1*x;

end;

begin

clrscr;

writeln (' Введите a,b,h '); read (a,b,h);

k:=0; x1:=a; x2:=x1+h; y1:=f (x1);

while x2<b do

begin y2:=f (x2);

if y1*y2<0 then

begin inc(k);

writeln (k, '-й корень

[ ', x1:4:1, , ' ; ' , x2:4:1, , ' ] ' )

end;

x1:=x2; x2:=x1+h; y1:=y2;

end;

repeat until keypressed

end.

Программаның орындалу нәтижесі:

Ескерту. Теңдеудің түбірлерін айыру алгоритмінің сенімділігі функциясының сипатына және таңдалған қадамның шамасына тәуелді. функциясының кесіндісінде бір емес бірнеше түбірлері болуы мүмкін. Сондықтан түбірлерді айыру барысында қадамның шамасын өте аз етіп алған дұрыс.

Тапсырма 1. Берілген теңдеудің түбірлерін графикалық әдісті пайдаланып айырыңдар және осы тапсырманы программалау тілінің көмегімен орындаңдар: