2.3 Жартылай бөлу әдісімен теңдеудің түбірін анықтау
Сызықтық емес теңдеулердің түбірлерін табудың қарапайым әдістердің бірі болып табылады.
теңдеуін
шешу барысында, ереже бойынша
түбірі жуық мәнінің алдын
ала
мүмкін қателігі беріледі. Түбірлерді
анықтау үрдісінде олардың
қателігінен үлкен емес жуық мәндерін
табуды талап етеді.
Айталық
теңдеудің
кесіндісінде бір түбірі бар болсын,
яғни
функциясы осы кесіндіде үздіксіз.
кесіндісін
нүктесімен жартылай бөлеміз.
функциясының
және
кесінділерінің шеткі нүктелеріндегі
мәндерін зерттейміз, яғни
нүктелерінде. Егер
болса, онда екі жағдай болуы мүмкін:
функциясы
кесіндісінде немесе
кесіндісінде таңбасын ауыстырады
(2.6-сурет).
Функцияның таңбасы ауыспайтын кесіндіні алып тастап, таңбасы ауысатын кесіндіні таңдап алып (өйткені, ол аралықта ізделінді түбір жатыр), оны жаңа кесінді ретінде қарастырамыз. Жартылай бөлу үрдісін жалғастыра отырып, теңдеудің түбірі тиісті болатын ең кіші кесіндіге келеміз.
Айталық
анықтық үшін
болсын.
Б
астапқы
жуық түбір ретінде
аламыз. Қарастырылған жағдайда
,
онда
және
кесіндісін ғана қарастырамыз. Келесі
жуықтау:
.
Мұнда
кесіндісін алып тастаймыз, өйткені
және
,
яғни
.
Осыған ұқсас басқа жуықтауларды табамыз:
және т.б.
Жуықтау
үрдісін
функциясының модульімен алынған мәні
берілген
ең аз санынан аз болғанша жалғастырамыз,
яғни
.
Төмендегі
суретте теңдеудің түбірін кесіндіні
жартылай бөлу әдісімен табудағы
итерациялық үрдістің блок-схемасын
ұсынамыз. Мұнда кесіндіні сығу
және
шектерін ағымдық
түбіріне ауыстырумен жүргізіледі.
Сонымен
қатар алынған кесіндінің ұзындығын
бағалауға болады: егер ол
мүмкін қателігінен кіші болса, есептеу
тоқтатылады, яғни
.
Төмендегі суретте теңдеудің түбірін кесіндіні жартылай бөлу әдісімен табудағы итерациялық үрдістің блок-схемасын ұсынамыз. Мұнда кесіндіні сығу және шектерін ағымдық түбіріне ауыстырумен жүргізіледі.
Мысал
3.
теңдеуінің
кесіндісінде бір түбірі бар. Осы теңдеуді
дәлдігіне дейін жартылай бөлу әдісімен
компьютердің программасы көмегімен
шешейік.
Алгоритмнің блок-схемасына сәйкес Turbo Pascal тілінде программа мынадай болады:
Программаның орындалу нәтижесі:
Тапсырма 2. Жартылай бөлу әдісімен берілген теңдеудің бір түбірін 10-3 дәлдікпен есепте:
а) Есептеме кестенің көмегімен;
б) Прграммалау тілінің көмегімен.
Есептің берілгендерін 1-тапсырмадан алыңыз.
2.4 Ньютон әдістері
Жартылай бөлу әдісімен қатар күрделі және тиімді итерациялық әдістер бар. Бұл әдістерге Ньютон есімімен байланысқан әдістердің тобы қатысады. Олардың екеуін қарастырайық: жанама әдісі және хорда (қиюшы) әдісі. Бл әдістердің екеуі де мынадай тәсілге негізделген.
теңдеуінің
кесіндісінде жалғыз түбірі бар болсын.
Оны оған мәндес теңдеуге түрлендіреміз:
мұндағы,
-
кесіндісінде анықталған және осы
кесіндіде нөлге айналмайтын кез келген
функция.
- ті әртүрлі тәсілмен таңдай отырып, көрсетілген әдістерді алуға болады.
Жанама әдісі
а) Бірінші тәсіл
Айталық
.
Сонымен итерациялық тізбек
реккуренттік
қатынасының көмегімен құрылады. Бастапқы
мәнін таңдау мәселесі,
функциясының мынадай шарттарды
қанағаттандыруымен шешіледі:
1) кесіндісінде екінші рет дифференциалданады;
2) Бірінші және екінші ретті туындылары осы кесіндіде таңбасын сақтайды, яғни функция монотонды және дөңестік сипатын ауыстырмайды.
Мұндай
жағдайда
мәні ретінде
кесіндісінің шеткі нүктелерінің бірі
алынады және ол нүктеде
функциясы және оның екінші ретті туындысы
бірдей таңбалы болуы керек, яғни
шарты орындалады.
Р
еккуренттік
қатынаспен (
)
болғанда анықталған
нүктесі,
функциясының графигіне
нүктесінде жүргізілген жанамамен
абсциссаның қиылысу нүктесі болады.
Итерациялық тізбектің әрбір келесі мүшесіне функциясының графигіне тізбектің алдыңғы мүшесі арқылы жүргізілген жанаманың абсциссамен қиылысу нүктесі сәйкес келетін болады.
Қателікті бағалау мынадай теңсіздіктің көмегімен жүзеге асырылады:
мәндері
реккуренттік тізбектің мүшелерін табуда
есептелетін болады.
Мысал
4.
теңдеуінің
кесіндісіндегі түбірін
-ке дейінгі дәлдікпен жанама әдісі
арқылы анықта.
Берілген жағдайда реккуренттік қатынас мынадай түрде болады:
нүктесін
анықтау үшін
кесіндісінің шеткі нүктелеріндегі
және
таңбаларын табамыз:
, 
, 
Сонымен,
.
Итерациялық үрдісті тоқтатуды тексеру үшін (белгілі дәлдік бойынша)
мәндерін
анықтаймыз. Кесіндінің шеткі нүктелері
үшін
.
Кесінді өте аз болғандықтан,
деп алуға болады.
Итерациялық тізбектің бірнеше мүшелерін есептейік:
Түбірдің жету дәлдігіне тексеру жасайық:
-
талап етілген дәлдік жеткілікті емес.
Тағы тексеру жасаймыз:
-
талап етілген дәлдік жеткілікті.
Итерациялық тізбек мүшелерін тізбектеліп есептелуін кесте түрінде көрсетейік:
|
|
|
|
0 |
1,3 |
1,401948 |
0,003 |
1 |
1,401948 |
1,399430 |
0,000001 |
Сонымен,
нәтижесінде
барлық сандар дұрыс болады.
б) Екінші тәсіл
қисығына
нүктесінде жанама жүргізіліп, жанаманың
абсцисса осімен қиылысу нүктесі
анықталады. Мұндай жағдайда
бастапқы жуықтау түбірін табу керек.
қисығына
нүктесінде жүргізілген жанаманың
теңдеуі
.
Осыдан
жанаманың Ох
осімен (
)
қиылысу нүктесі ретіндегі
жуық түбірін табамыз:
Осыған
ұқсас
,
және т.б. нүктелерінде жүргізілген
жанамалардың абсцисса осімен қиылысу
нүктелері ретіндегі жуықтаулар табылады.
- ші ретті жуықтау үшін формула:
Мұндай
жағдайда,
болуы керек. Итерациялық үрдісті тоқтату
үшін
шартын немесе тізбектің екі жуықтауының
жақындалу
шартын пайдалануға болады.
Хорда (қиюшы) әдісі
Жанама
әдісін жүзеге асыру барысында,
функиясының мәнін ғана емес оның
туындысының мәнінде есептеу қажетті.
Бірақ Ньютон әдісінің тек
мәнін есептеумен шектелетін нұсқасы
бар.
а) Бірінші тәсіл
Егер
деп алып, с
мәні ретінде
кесіндісінің шеткі нүктелерінің бірі
алынады және ол нүктеде
шарты орындалады. Осыдан итерациялық
әдіс
реккуренттік қатынаспен анықталатын хорда әдісіне (қиюшы әдісіне) келеміз.
мәні
ретінде
кесіндісінен с
мәні таңдағаннан қалған екінші шеткі
нүктесі алынады (яғни, егер
болса, онда
немесе керісінше).
Т
ізбек
реккуренттік қатынастың формуласы
бойынша құрылады. Жуықтау түбірінің
бағалауы
теңсіздігінің көмегімен анықталады.
Әдістің
геометриялық мағынасы төмендегі суретте
көрсетілген. Берілген жағдайда
.
мәніне қисықтың шеттерін қосатын
хорданың абсцисса осімен қиылысу
нүктесіне сәйкес келеді. Кейін қисықтың
бойынан абсцисасы
болатын нүкте табылып, хорда жүргізіледі
және т.б.
Мысал 5. теңдеуінің кесіндісіндегі түбірін -ке дейінгі дәлдікпен хорда әдісі арқылы анықта.
нүктесін
анықтау үшін
кесіндісінің шеткі нүктелеріндегі
және
таңбаларын табамыз:
,
,
Сонымен,
.
Осыдан
.
мәнін табамыз:
Берілген дәлдіктің жеткіліктілігін тексерейік:
-
талап етілген дәлдік жеткілікті емес.
Келесі жуықтауды табамыз:
-
талап етілген дәлдік жеткілікті.
Итерациялық тізбек мүшелерін тізбектеліп есептелуін кесте түрінде көрсетейік:
|
|
|
|
0 |
1,3 |
1,397834 |
0,002 |
1 |
1,397834 |
1,399410 |
0,00002 |
Сонымен,
.
б) Екінші тәсіл
А
йталық
функциясы таңбасын ауыстыратын
кесіндісін бар болсын. Анықтық үшін
деп алайық. Берілген әдісте итерация
үрдісі бойынша, теңдеудің түбірлеріне
жуықтау ретінде хорданың абсцисса
осімен қиылысқан нүктелердің
мәндері алынады.
Алдымен АВ хордасының теңдеуін табамыз:
Оның
абсцисса осімен қиылысу нүктелері үшін
(
)
теңдеуін аламыз.
Қарастырылған
жағдай үшін
және
шамаларының таңбаларын салыстыра
отырып, түбірдің
аралығында болатынын аламыз, өйткені
.
кесіндісін қарастырмаймыз. Келесі
итерация АВ1
хордасымен абсцисса осінің қиылысу
нүктесі болатын жаңа
жуықтауын анықтаудан тұрады және т.с.с.
Итерациялық үрдіс
шарты орындалғанша жалғастырылады.
Хорда әдісінің блок-схемасы
Тапсырма 3. Берілген теңдеудің бір түбірін 10-6 дәлдікпен Ньютон әдістерінің бірін пайдаланып, программалау тілінің көмегімен есепте. Есептің берілгендерін 1-тапсырмадан алыңыз.
Дәріс №3 Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері