2. Затухающие колебания.

Во всяком реальном контуре обязательно присутствует активное сопротивление R. Соответственно выражение для закона Ома будет иметь вид (21.03):

или . (21.14)

Разделим (21.14) на и воспользуемся обозначением:

. (21.15)

Получаем дифференциальное уравнение, описывающее колебания в контуре с ненулевым активным сопротивлением:

(21.16)

Параметр называется коэффициентом затухания. По смыслу эта величина обратна времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

Решение (21.16) при не слишком большом затухании имеет вид (как известно!):

(21.17)

«…при не слишком большом затухании» означает:

. (21.18)

В этом случае циклическая частота колебаний остается вещественной:

. (21.19)

Из (21.19) следует, что частота затухающих (т.е. при ненулевом сопротивлении в контуре) колебаний меньше собственной.

Для характеристики степени затухания колебаний используют логарифмический декремент затухания, который определяется соотношением:

. (21.20)

Напомним, что есть количество колебаний, совершаемых системой за время, пока амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

В нашем случае и , поэтому

. (21.21)

поскольку определяется параметрами контура , то логарифмический декремент затухания  является характеристикой контура. Важно отметить, что соотношение (21.21) справедливо всегда, в отличии от широко используемого приближенного соотношения, которое мы сейчас рассмотрим.

При небольшом затухании ,и вторым слагаемым в (21.19) можно пренебречь. Тогда

. (21.22)

. (21.23)

Чаще для характеристики степени затухания колебаний используется добротность контура:

. (21.24)

Добротность контура, как и любой колебательной системы, пропорциональна _.

Энергия, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату напряжения на конденсаторе, а значит, уменьшается по закону:

. (21.25)

Тогда отношение энергии W, теряемой в контуре за период к запасённой . (21.26)

Если (!) затухание невелико:  << 1, то , а значит

. (21.27)Отсюда находим, что

. (21.27)

Другими словами добротность пропорциональна отношению энергии запасённой в контуре к энергии, теряемой за период.

3. Вынужденные электрические колебания.

В ынeужденные колебания можно осуществить, например, включив последовательно с элементами контура переменную ЭДС:

(21.28)

В выражении для закона Ома это напряжение следует сложить с действующими в контуре напряжениями:

(21.30)

или

(21.31)

Установившиеся колебания описываются в этом случае решением уравнения (21.31), которое имеет вид:

_, (21.32)

т.е. колебания происходят на частоте вынуждающей силы. Кроме того, амплитуда колебаний заряда на конденсаторе зависит от частоты:

, (21.33)

а между колебаниями внешнего напряжения и колебаниями заряда на конденсаторе существует сдвиг фаз: колебания заряда отстают по фазе от внешнего напряжения на угол , который определяется соотношением:

_. (21.34)

В случае электромагнитных колебаний, подставив в (21.33) и (21.34) значения параметров и , получим соотношения:

_. (21.35)

и

_. (21.36)

Сила тока в контуре при установившихся колебаниях определяется соотношением:

_. (21.37)

где (21.38)

– сдвиг фаз между током и приложенным внешним напряжением.

_. (21.39)

Таким образом, знак сдвига фаз между приложенным напряжением и током в цепи определяется знаком разности .

Амплитуда колебаний силы тока, в соответствии с (21.37) получается умножением амплитуды колебаний заряда на и определяется соотношением:

_. (21.40)

Исходное уравнение колебаний (21.30) в каждый момент времени можно представить в виде:

_. (21.41)

Слагаемые в левой части (21.41) есть напряжения на соответствующих участках цепи:

(21.42)

Поэтому можно сказать, что в данный момент времени сумма напряжений на элементах контура равна напряжению, приложенному извне.

Падение напряжения на активном сопротивлении R

_. (21.43)

Можно утверждать, что фазы напряжения и тока на активном сопротивлении совпадают .

Напряжение на ёмкости получим, разделив выражение для заряда на его емкость :

(21.44)

_. (21.45)

Сравнивая это соотношение с (21.43), видим, что напряжение на ёмкости отстаёт по фазе от силы тока на .

Максимальное значение (амплитудное)

_. (21.45)

_.Однако в соответствии с (21.40) . Поэтому можно утверждать, что амплитудное значение напряжение на конденсаторе и амплитуда тока в контуре связаны простым соотношением:

_. (21.46)

Напряжение на индуктивности

_. (21.47)

Причём _. (21.48)

Следовательно на индуктивности напряжение опережает ток на .

Величину называют ёмкостным сопротивлением, в силу того, что в соотношении (21.46) эта величина является коэффициентом пропорциональности между амплитудой напряжения и силой тока в контуре. Величину по аналогии называют индуктивным сопротивлением. Индуктивное и ёмкостное сопротивления называют реактивными сопротивлениями, подчеркивая тот факт, что на этих сопротивлениях не происходит преобразования электромагнитной энергии в тепловую. В отличии от этого на обычном резисторе , в соответствии с законом Джоудя – Ленца такое преобразование происходит,

и сопротивление проводников называют активным.

Эти фазовые соотношения удобно отобразить на векторной диаграмме, отражающей тот факт, что сумма напряжений на элементах контура равна действующей внешней ЭДС.

При измерении частоты вынуждающего генератора изменяется амплитудное значение заряда и, соответственно, амплитуда напряжения на ёмкости .

При частоте

_. (21.47)

и достигают максимума. Это явление соответствует резонансу в механике. Заряд играет в электрических колебаниях роль координаты. Примерный вид зависимостей амплитудного значения заряда конденсатора (а значит и напряжения на конденсаторе) от частоты внешнего напряжения показан на рисунке. Важно отметить, что кривые не выходят из начала координат. Это означает, что при приложении к контуру постоянного напряжения его заряд имеет некоторое конечное значение. В соответствии с (21.47) резонансная частота уменьшается по мере увеличения активного сопротивления в контуре.

Резонансные кривые для тока имеют несколько иной вид. Из выражения

в

идно, что максимум амплитуды силы тока достигается при . Следовательно, резонансная частота, для тока совпадает с собственной частотой контура . На фазовой диаграмме при векторы, соответствующие напряжениям на индуктивности и ёмкости оказываются равными противоположено направленными. Соответственно сопротивление контура оказывается чисто активным и минимальным. Течёт максимальный ток. Кроме того, при переходе через сдвиг фаз между током в контуре и приложенным внешним напряжением меняет знак.

По этой причине в радиотехнике резонансом называют такой режим работы электрической цепи, содержащей индуктивности и ёмкости, при котором реактивная составляющая сопротивления (или проводимости) цепи равна нулю. Такой резонанс называют фазовым.

Таким образом на резонансной частоте сопротивление и проводимость электрической цепи имеют чисто активный характер, фазы тока и приложенные напряжения совпадают.

Рассмотренный нами случай, когда внешнее напряжение и элементы цепи включены последовательно, наз. последовательным резонансным контуром. В таком контуре при резонансе (фазовом!) напряжение на ёмкости равно по амплитуде напряжению на индуктивности

но эти напряжения противофазны и компенсируют друг друга. Внешнее напряжение равно напряжению на активном сопротивлении и совпадает по фазе с током. Такая разновидность резонанса называется резонансом напряжений.

В резонансе амплитуда тока

_. (21.47)

При этом напряжение на конденсаторе

_. (21.47)

Таким образом, при резонансе напряжений напряжение на конденсаторе в Q раз превосходит напряжение внешнего источника.

На рис. показан параллельный резонансный контур, к точками a и b которого приложено переменное напряжение

В отличие от последовательного контура, в котором общим является ток во всех элементах, и рассматривается сложением колебаний напряжения, в этом случае общим является напряжение

, а сила тока в ветвях различна:

_. (21.47)

Поэтому задача сводится к сложению колебаний

тока. Построим векторную диаграмму токов. Пусть вектор внешнего напряжения будет горизонтальным. Амплитуда тока через индуктивность.

(замена конденсатора означает переход к )

сдвинут (отстаёт) по фазе относительно оси напряжений на угол ,

Вектор тока через ёмкость имеет амплитуду

(43)

и опережает напряжение на

При резонансе: результирующий ток совпадает по фазе с U и контур ведёт себя как чисто активное сопротивление.

Этой ситуации соответствует следующая векторная диаграмма:

Очевидно, что резонансу соответствует

минимальное значение результирующего тока,

следовательно сопротивление контура становится максимальным. Если сопротивление катушки стремится к нулю, то стремится к и при резонансе с нулевым R токи в индуктивности и ёмкости полностью компенсируют друг друга. При этом ток в подводящих проводах был бы равен нулю, хотя , могли бы быть достаточно большими. При этом сопротивление контура .

Рассмотренный случай называется резонансом токов.