7. Диполь во внешнем электрическом поле

В однородном электрическом поле на диполь действуют силы и , которые образуют пару сил с моментом:

(12.39) Этот момент устанавливает диполь электрическим моментом по направлению электрического поля.

Рассмотрим диполь в неоднородном поле, симметричном относительно оси , на которой находится диполь. Потенциальная энергия диполя

(12.40)

С читая диполь достаточно малым, приращение потенциала на отрезке можно представить в виде:

(12.41)

Тогда для потенциальной энергии получаем:

(12.42) В неоднородном поле силы, действующие на заряды диполя неравны, и на диполь действует результирующая сила, направленная вдоль оси ох, наряду с вращательным моментом. Эту силу можно найти по общему правилу .

Поскольку поле изменяется только по оси , то для точек оси производные по и равны нулю, и для силы, действующей на диполь, получаем:

(12.43)

При сила (12.43) положительна, и это означает, что диполь втягивается в область более сильного поля. При диполь выталкивается в область более слабого поля.

Однако, учитывая ориентирующие действие поля, стремящееся установить диполи по направлению поля, можно утверждать, что если диполь не закреплен, и его ориентация может измениться, то на диполь будет действовать результирующая сила, втягивающая его в область более сильного поля. Этот вывод справедлив и в общем случае при произвольной неоднородности поля.

13 Описание свойств векторных полей

Материальный аппарат теории поля – векторный анализ. Будем говорить, что нам задано поле некоторой величины, если во всех точках рассматриваемого объема нам задано значение этой величины. Если в каждой точке пространства или некоторой среды задана скалярная функция , то говорят, что задано скалярное поле. Если величина векторная, то говорят, что задано векторное поле.

1. Градиент

По определению градиентом скалярной функции называется вектор

. (13.01)

Следует помнить о том, что градиента векторной функции не существует, в силу того, что он просто не определен. Можно рассматривать градиент модуля вектора, но модуль – это скалярная величина.

Физический смысл градиента функции заключается в том, что это вектор, направленный в сторону скорейшего возрастания функции, а по модулю равный производной, взятой вдоль направления скорейшего возрастания.

НАПРИМЕР, если в стакан налит кипяток, то, очевидно, что в стенках стакана устанавливается градиент температуры. Поскольку градиент направлен в сторону скорейшего возрастания величины, то градиент температуры перпендикулярен стенкам стакана. Температура изменяется и вдоль направления черной стрелки, но направление СКОРЕЙШЕГО возрастания задается, очевидно, красной.

Величину градиента грубо можно оценить, разделив известное изменение величины на расстояние на котором оно происходит, если это расстояние в направлении скорейшего изменения.

Пока стенки не прогрелись по толщине, можно считать, что на внутренней поверхности температура 100 ⁰С, а на внешней – в соответствии с температурой окружающей среды – 20⁰С. Если толщина стенок 1 мм, то градиент по модулю равен 80 ⁰С/мм = 8 10^{4 0}С/м. По мере прогревания стенок температура воды в стакане немного упадет, но на внешней поверхности – сильно возрастет. Разница температур уменьшится и градиент по модулю тоже.

Сравним понятия градиент и скорость. Когда мы говорим «скорость изменения некоторой величины равна…», то обычно подразумеваем, что речь о быстроте изменения величины во времени. Говоря о том, что градиент некоторой величины составляет столько-то, мы говорим о быстроте изменения величины в пространстве, т.е. при изменении пространственных координат.