15.4 Явления на поверхности диэлектрика.

В неполяризованном диэлектрике объемная и поверхностная плотности связанных зарядов равны нулю. В результате поляризации поверхностная, а в ряде случаев и объемная, плотности зарядов становятся отличными от нуля. Рассмотрим процессы, происходящие при этом.

В полне очевидно, что если для данного участка поверхности диэлектрика нормальная составляющая электрического доля отлична от нуля, то в тонком приповерхностном слое возникает связанный заряд одного знака, т. к. под действием поля заряды одного знака уходят внутрь диэлектрика, а другого - выходят наружу. Естественно предположить, что между степенью поляризации, т.е. поляризованностью ,и должна существовать связь. Для ее нахождения рассмотрим бесконечную плоскопараллельную пластинку однородного диэлектрика, помещенную в однородное электрическое поле. Мысленно выделим в пластинке элементарный объем в виде тонкого цилиндра с основаниями площади и образующими, параллельными . Если расстояние между основаниями равно , а угол между и нормалью к поверхности пластинки равен , то

= cos (15.11)

Объем имеет дипольный электрический момент

15.12)

где Р - модуль вектора поляризованности.

С другой стороны рассматриваемый объем эквивалентен диполю, об разованному зарядами и , отстоящими друг от друга на расстояние . С этой точки зрения его дипольный момент равен

(15.13)

Приравнивая (15.12) и (15.13), получаем:

(15.14)

Из (15.14) вытекает соотношение между Р и :

(15.15)

Выразив Р через напряженность электрического поля, придем к соотношению:

(15.16)

Из (16) вытекает, что в тех местах поверхности, где линии напряженности выходят из диэлектрика, т.е. > 0 , на поверхности выступают положительные связанные заряды, а в тех, где входят, т.е. < 0, на поверхности появляются отрицательные связанные заряды.

В заключение отметим, что формулы (15.15) и (15.16) справедливы и в общем случае, когда неоднородный диэлектрик произвольной формы находится в неоднородном электрическом поле. В этом случае под и надо понимать нормальные составляющие, взятые в непосредствен­ной близости к тому элементу поверхности, для которого определяется .

15.5. ЯВЛЕНИЯ В ОБЪЕМЕ ДИЭЛЕКТРИКА

Рассмотрим теперь условия возникновения в объеме диэлектрика объемной плотности связанных зарядов. Для этого представим внутри неоднородного изотропного диэлектрика с неполярными молекулами воображаемую малую площадку . Пусть в единице объема диэлектрика имеется N одинаковых частиц с зарядом и столько же связанных с ними одинаковых отрицательно заряженных частиц с зарядом . Поскольку рассматриваемая площадка мала, то в ее окрестности поле можно считать однородным, и сам диэлектрик - тоже однородным. При включении электрического поля все положительно заряженные частицы сместятся в направлении поля на расстояние , а все отрицательные - в противоположном направлении на . При этом через площадку в направлении нормали к ней перейдут положительно заряженные частицы, которые до включения поля находились в объеме косого цилиндра с объемом

(15.17)

Ч исло таких частиц будет равно , и они перенесут через заряд

(15.18)

Одновременно отрицательные частицы перенесут через отрицатель­ный заряд в направлении, противоположном , величиной

(15.19)

Перенос отрицательного заряда в этом направлении эквивалентен пере­носу положительного заряда в противоположном направлении. Таким обра­зом, в направлении нормали переносится положительный заряд:

(15.20)

Учтем теперь, что - расстоянию, на которое смещаются при включении поля положительные и отрицательные заряды друг отно­сительно друга. При этом каждая пара зарядов создает дипольный момент р =el . Число таких пар в единице объема равно n. Следовательно,  модулю вектора поляризованности. Таким образом, заряд, проходящий через в направлении нормали к ней при включении поля равен

(15.21)

Мы рассматриваем изотропный диэлектрик, а в нем направления векторов совпадают. Следовательно, есть угол между . Тогда можно записать, что

(15.22)

Переходя к дифференциалам, получаем, что через элементарную площадку в направлении нормали к ней проходит заряд

(15.23)

Представим теперь себе внутри объема диэлектрика замкнутую поверхность S. Напомним, что в случае замкнутых поверхностей положительной считается внешняя нормаль. Тогда при включении поля через S выйдет наружу связанней заряд:

(15.24)

Следовательно, в объеме, ограниченном S, возникнет избыточный связанный заряд:

(15.25)

Если объемная плотность этого связанного заряда равна , то

(15.26)

Приравнивая правые части (15.25) и (15.26), получаем:

(15.27)

Поверхностный интеграл в (15.27) преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса:

(15.28)

Соотношение (15.28) должно выполняться для произвольного объема V , а это возможно только в том случае, если в каждой точке диэлектрика

(15.29)

Таким образом, плотность связанных зарядов в диэлектрике равна ди­вергенции вектора поляризованности, взятой с обратным знаком. Это утверждение справедливо и для диэлектриков с полярными молекулами.

Выясним более конкретно, при каких условиях в диэлектрике воз­можно возникновение объемного связанного заряда. Воспользуемся связью поляризованности и напряженности электрического поля (15.6), подставим в (15.29) и осуществим дифференцирование:

(15.30)

Учтем, что связанные заряды ничем кроме своей связанности не отличаются от сторонних, и также являются источниками электрического поля. Поэтому выражение теоремы Гаусса в рассматриваемом случае следует записать в виде:

(15.31)

Подставим выражение для из (15.31) в (15.30):

(15.32)

Выразим из (15.32):

(15.33)

На основании (15.33) можно утверждать, что объемная плотность связанных зарядов в диэлектрике может быть отлична от нуля в двух случаях:

1) если диэлектрик неоднороден, т.е. ^  0 (например, в области границы раздела двух сред);

2) если в данном месте диэлектрика отлична от нуля плотность сторонних зарядов, т.е. внутрь диэлектрика каким-либо образом введен сторонний заряд.

15.6 Вектор электрического смещения

Как мы уже отмечали, источниками электрического поля в диэлектрике являются и сторонние и связанные заряды, поэтому по теореме Гаусса:

(15.34)

Однако формула (15.34) фактически не позволяет находить напряженность электрического поля , т. к. плотность связанных зарядов в свою очередь выражается через , как это следует из формул (15.16), (15.32):

;

Для упрощения вычисления электрических полей можно ввести в рассмотрение вспомогательную величину, источникам которой будут только сторонние заря­ды. Для получения соотношения, определяющего эту величину, подставим в (15.34) выражение для через вектор поляризованности: :

(15.35)

Из (15.35) следует,

(15.36)

т.е. дивергенция величины, стоящей в скобках, определяется только плотностью сторонних зарядов. По определению векторную величину

(15.37)

называют электрическим смешением или электрической индукцией. Подставив в (15.37) выражение для поляризации (15.7) , получим:

(15.38)

Безразмерную величину

(15.39)

называют относительной диэлектрической проницаемостью. Теперь (15.38) можно представить в виде:

. (15.38)

Таким образом, между векторами существует очень простая связь, но дивергенция определяется только сторонними зарядами (15.36), поэтому находить электрическую индукцию во многих случаях оказывается проще, а диэлектрическая проницаемость достаточно просто определяется экспериментально.

В соответствии с (15.36)

(15.40)

Это выражение можно рассматривать как теорему Гаусса для вектора в дифференциальной форме. Возьмем (15.40) интеграл по произвольному объему и применим теорему Остроградского – Гаусса:

, (15.41)

т.е. поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри нее сторонних зарядов – теорема Гаусса для в интегральной форме.