14. Циркуляция и дивергенция электростатического поля

1. Циркуляция и ротор электростатического поля

Силы электростатического поля являются консервативными. Поэтому их работа на любом замкнутом пути равна нулю:

. (14.55)

Следовательно, циркуляция вектора по любому контуру

. (14.56)

Согласно теореме Стокса, . Поэтому поток через любую поверхность S, опирающуюся на некоторый Г

(14.57)

Поскольку (14.57) выполняется для любой поверхности, то должно быть равно нулю подынтегральное выражение:

(14.58)

Формулы (14.56) и (14.58) означают: невозможно существование электростатического поля такой конфигурации, где . Например, невозможно создать электростатическое поле, отличное от нуля только в определенном объёме. Действительно, по всякому контуру, частично проходящему в этом объеме, циркуляция будет не равна нулю, чего быть не может!

Равенство нулю указывает на то, что можно представить в виде градиента скалярной функции. некоторой скалярной . И действительно

(14.59)

2. . Теорема Гаусса

Вспомним о том, что поток любого вектора через замкнутую поверхность численно равен количеству линий, выходящих из поверхности наружу. Мы доказывали, что количество линий выходящих из положительного заряда одинаково на любом расстоянии от него и равно . Поэтому для точечного заряда справедливо соотношение:

(14.60)

Если внутри некоторой замкнутой поверхности S находится N зарядов , то по принципу суперпозиций . Поэтому поток результирующего поля через поверхность S:

(14.61)

Таким образом, можно утверждать, что поток вектора напряженности электростатического поля, через замкнутую поверхность

, (14.62)

т.е. равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности деленной на . Это утверждение называется теоремой Гаусса для вектора напряженности электростатического поля.

Учитывая малость элементарного заряда обычно при рассмотрении макроскопических задач распределение заряда в пространстве, описывают плотностью заряда:

, (14.63)

Соответственно соотношение (14.60) записывают в виде

, (14.64)

Необходимо учесть, что по теореме Остроградского - Гаусса

. Поэтому

, (14.65)

Это равенство должно выполняться для любого объема V, а значит

, (14.66)

Соотношение (13.66) называется теоремой Гаусса в дифференциальной форме.

Лекция № 15. Электрическое поле в диэлектирках

15.1 ПОЛЯРНЫЕ И НЕПОЛЯРНЫЕ МОЛЕКУЛЫ.

Веществ, абсолютно не проводящих электрический ток в природе не существует. Поэтому диэлектриками или изоляторами называют вещества, которые проводят электрический ток в 10¹⁵  10²⁰ раз хуже, чем металлы. При внесении диэлектрика в электрическое поле в нем происходят существенные изменения, для понимания которых необходимо помнить о том, что в состав атомов и молекул любого диэлектрика входят тяжелые положительно заряженные ядра и намного более легкие отрицательно заряженные электроны. Поэтому с точки зрения электрических свойств нейтральная молекула представляет собой систему положительных и отрицательных зарядов с очень малыми размерами. Электрическое поле, создаваемое такой системой определяется ее дипольным электрическим моментом:

(15.1)

Дипольный электрический момент определяет также и поведение молекулы во внешнем электрическом поле. Необходимо, однако, учитывать, что электроны в молекулах движутся и с весьма большими скоростями. Так что дипольный электрический момент молекулы быстро изменяется с течением времени. Практически можно наблюдать только среднее значение дипольного электрического момента:

, (15.2)

о котором мы и будем говорить в дальнейшем.

Аналогично центру тяжести механической системы можно ввести в рассмотрение центры тяжести положительных и отрицательных зарядов молекулы, положение которых определяется радиус-векторами:

; (15.3)

Тогда молекулу можно рассматривать как диполь, положительный заряд которого расположен в центре тяжести положительных зарядов, а отри­цательный соответственно в центре тяжести отрицательных зарядов.

У симметричных молекул (например, H₂ ,O₂, N₂) в отсутствие электрического поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают. Такие молекулы не имеют собственного дипольного электрического момен­та и называются неполярными. У несимметричных молекул (например, H₂O, Н Cl) центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают, они обладают собственным дипольным электрическим моментом и называют­ся полярными.

Во внешнем электрическом поле полярные и неполярные молекулы ведут себя по-разному. В неполярной молекуле заряды смещаются друг относительно друга, и молекула приобретает дипольный электрический момент, направленный по полю и пропорциональный напряженности внешнего поля:

(15.3)

где коэффициент пропорциональности называют поляризуемостью молекулы. Другими словами заряды в неполярной молекуле ведут себя так, как будто они связаны упругой связью. Поэтому неполярные молекулы во внешнем электрическом поле ведут себя как упругий диполь.

На полярные молекулы внешнее поле оказывает в основном ориентирующее действие. Поэтому говорят, что полярная молекула ведет себя во внешнем электрическом поле как жесткий диполь.

15.2 ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ

Обычно, в отсутствие электрического поля, суммарный дипольный момент диэлектрика равен нулю. Для диэлектриков с неполярными молеку­лами этот факт очевиден, а у диэлектриков с полярными мо­лекулами хаотическое тепловое движение приводит к хаотическому рас­пределению в пространстве направлений дипольных моментов так, что результирующий момент тоже оказывается нулевым.

Во внешнем электрическом поле результирующий дипольный момент диэлектрика становится отличным от нуля, говорят, что диэлектрик по­ляризуется. В качестве величины, характеризующей степень поляризации диэлектрика естественно использовать дипольный момент единицы объема диэлектрика. Однако такая величина будет характеризовать поляризацию усредненно. Поэтому для характеристики поляризации используется век­торная величина называемая поляризованностью диэлектрика, которая по определению равна отношению результирующего дипольного момента физически бесконечно малого объема к величине этого объема:

(15.5)

Если однородный диэлектрик помещен в однородное электрическое поле, то совпадает с электрическим моментом единицы объема диэлектрика. Экспериментально установлено, что у изотропных диэлектриков поляризованность пропорциональна напряженности поля в данной точке:

(15.6)

где - независящая от величина, называемая диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.

У неполярных диэлектриков соотношение (15.6) вытекает из формулы (15. 4). Действительно, если концентрация молекул равна n , то в объем попадают молекул с дипольными моментами . Следовательно

(15.7)

У диэлектриков с полярными молекулами ориентирующему действию электрического поля противодействует тепловое движение, поэтому в данном поле устанавливается некоторая преимущественная ориентация дипольных моментов. При этом соотношение (15.6) остается справедливым.

У ионных кристаллов отдельные молекулы утрачивают обособленность. Весь кристалл можно рассматривать как гигантскую молекулу. Решетка такого кристалла представляет две вставленные друг в друга подрешетки, из которых одна образована положительными ионами, а другая - отрицательными, В электрическом поле подрешетки смешиваются друг относительно друга , т.е. кристалл поляризуется. Соотношение (15.6) справедливо и в этом случае.

15.3. ПОЛЕ ВНУТРИ ДИЭЛЕКТРИКА

Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика будем называть связанными. Под действием поля эти заряды могут смещаться из своих положений равновесия, однако покинуть пределы молекулы они не могут. Заряды, расположенные вне диэлектрика, а также заряды внутри объема диэлектрика, но не входящие в состав молекул, будем называть сторонними. (Их называют также свободными.)

Результирующее микроскопическое поле в диэлектрике является суперпозицией поля сторонних зарядов и поля связанных зарядов .

= + (15.8)

Это поле называют истинным или микроскопическим. Однако это поле неудобно использовать при описании свойств диэлектриков, т.к. оно сильно изменяется в пределах межатомных расстояний, а также со временем, вследствие движения молекул. При описании макроскопических свойств эти изменения не обнаруживаются, и в качестве характеристики поля используется усредненное значение :

+ (15.9)

Обычно усредненное поле сторонних зарядов обозначают , а усредненное поле связанных зарядов - , и записывают:

+ (15.10)

Именно поле, определяемое формулой (15.10), подразумевается в соотношении (15.6), и его называют макроскопическим полем.