2 Розв’язок системи нелінійних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів з використанням методу Гаусса на кожному кроці ітераційного процесу (зовнішньої ітерації)
Розв’язок системи рівнянь (4) здійснюється в такому порядку:
2.1 Задаємося
початковим наближенням невідомих напруг
вузлів
на
нульовому кроці зовнішньої ітерації.
Рекомендується прийняти
.
Підставляємо ці складові напруг у праві частини рівнянь (4) і обчислюємо числові значення правих частин. Тоді рівняння вузлових напруг перетворюються в систему лінійних алгебраїчних рівнянь.
2.2 Розв’язуємо
систему лінеаризованих рівнянь методом
Гаусса зі зворотним ходом. У результаті
виконання кроків прямого ходу виключаємо
послідовно
з другого і наступного рівнянь системи
(4),
із третього і наступного рівнянь і т.д.,
поки не приведемо систему (4) до
еквівалентної системи рівнянь з верхньою
трикутною матрицею коефіцієнтів:
(5)
Із
системи (5) послідовно визначаємо значення
невідомих
(зворотний хід). Тут індекс у дужках
указує номер кроку зовнішньої ітерації
– перше наближення складових напруг
вузлів.
2.3 Переходимо до другого кроку зовнішньої ітерації, тобто визначаємо праві частини системи (4) при значеннях складових вузлових напруг, що дорівнюють їхнім першим наближенням.
2.4 Розв’язуючи
систему лінеаризованих рівнянь з тією
ж матрицею
,
знаходимо друге наближення складових
напруг
.
Для
розрахунків слід використати програми
КРВр1р та КРВр2р в Excel.
Можна перевірити правильність виконання
аналітичних обчислень у пп. 2.2 і 2.4,
скориставшись програмою для ПК розв’язку
систем лінійних алгебраїчних рівнянь
методом Гаусса (D:\STUDENT\MAT_ZAD\LIN_UR)
або програмою LINKR
в Mathcad.
Такі кроки зовнішньої ітерації
продовжуються доти, поки процес не
зійдеться (із заданою точністю за
напругою
).
У курсовій роботі досить обмежитися
двома кроками. Значення напруг у вузлах
із заданою точністю (=0,001кВ)
слід одержати, скориставшись програмою
GAUSS (D:\STUDENT\MAT_ZAD\GAUSS).
3 Розв’язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів методом Гаусса-Зейделя
Для розв’язку системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг (4) методом Гаусса-Зейделя приводимо її до вигляду, зручного для ітераційного процесу. Для цього розв'язуємо перше рівняння системи (4) відносно , друге – відносно і т.д. У результаті одержуємо систему рівнянь (6), для к-го кроку ітерацій, еквівалентну (4).
Порядок ітераційного розрахунку
1) Задаємося початковим (нульовим) наближенням невідомих (на нульовому кроці ітерацій): .
2)
Значення
і
,
i=1,2,3
підставляємо
в праву частину першого рівняння системи
(6) і визначаємо перше наближення
невідомого
.
(6)
При
обчисленні невідомого
в
праву частину другого рівняння системи
(6) підставляємо значення невідомого
,
обчислене на першому кроці, і нульові
наближення інших невідомих
і
т.д. При обчисленні невідомого
в
праву частину третього рівняння системи
(6) підставляємо значення невідомих
,
і нульові наближення інших невідомих
і т.д., аж до обчислення
,
коли в праву частину шостого рівняння
системи (6) підставляємо складові напруг,
обчислені на першому кроці, за винятком
,
для якого підставляється нульове
наближення
.
3)
Аналогічною підстановкою отриманих
на першому кроці значень складових
напруг у праву частину першого рівняння
системи (6) знаходиться наступне наближення
і
т.д. до досягнення необхідної точності.
Таким чином, на кожному к-му кроці ітераційного процесу для обчислення i-го невідомого використовуються значення невідомих, обчислених як на попередньому k-1 кроці, так і на даному – к-му.
Без комп’ютера треба виконати перший крок ітераційного процесу.
Значення напруг у вузлах із заданою точністю ( = 0,001 кВ) слід одержати, скориставшись програмами Excel КРВр1Z та КРВр2Z. Розраховані напруги слід порівняти з результатами розрахунку за програмами ZEIDEL (D:|STUDENT\MAT_ZAD\ZEIDEL)та GAUSS .