Учет погрешностей приближенных вычислений Лекция 3

 Лекция № 3 

1. Вероятностный подход к оценке погрешности.

Рассмотренный выше аналитический способ учёта погрешностей арифметических действий (т.е. сложения, вычитания, умножения и деления приближённых чисел) так же как и способ оценки значений результатов вычислений дифференцируемых функций оперирует с абсолютными величинами погрешностей или ошибок приближённых чисел и потому обладает существенным недостатком.

Этот недостаток заключается в том, что данный способ учёта погрешностей рассматривает наихудший вариант взаимодействия погрешностей, который хотя теоретически допустим на практике, но практически маловероятен !

Например, совершенно ясно, что при суммировании нескольких приближённых чисел (полученных в результате измерений, округлений или каким-либо другим путём) почти всегда существуют слагаемые (приближающие соответствующие точные значения) как с избытком, так и с недостатком. Поэтому в результате их суммирования произойдёт частичная компенсация ошибок округления. Данная ситуация проиллюстрирована в таблице 1 на примере суммирования чисел, округлённых до одного и того же десятичного знака после запятой.

Таблица 1. Разница между «точным» и теоретическим учётом погрешности

Исходное число (А)	Округлённое Число (а)	Ошибка А  а	Абсолютная погрешность а
4.67441	4.6744	0.00001	0.00005
2.85889	2.8589	0.00001	0.00005
8.73193	8.7319	0.00003	0.00005
5.41936	5.4194	 0.00004	0.00005
1.72032	1.7203	0.00002	0.00005
Суммарное значение ошибки и абсолютной погрешности суммы:		 = 0.00001	  = 0.00025

Из таблицы 1 видно, что при суммировании округленных чисел (из-за взаимодействия, т.е. взаимной компенсации ошибок слагаемых) реальная ошибка суммы слагаемых существенно меньше абсолютной погрешности их суммы.

При больших количествах однотипных вычислений в силу вступают уже вероятностные или статистические закономерности формирования погрешностей результатов действий. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Рассмотрим сумму n слагаемых (приближённых чисел):

u = x₁ + x₂ + … + x_{n .}

Тогда, как известно, предельная абсолютная погрешность _u данной суммы u равна:

_u = _x1 + _x2 + … + _xn (1)

Отсюда в случае, когда предельные абсолютные погрешности слагаемых одинаковы, т.е. все приближённые числа отклоняются от соответствующих точных значений примерно на одну и туже величину (что, например, возможно в случае, когда все слагаемые округлены до одного и того же m-го десятичного разряда) получим:

_x1 = _x2 = … = _xn. =  (2)

поэтому из (1) будем иметь:

_u = n  (3)

Формула (3) даёт максимальное возможное значение абсолютной погрешности суммы. Эта предельная абсолютная погрешность совпадает с реальной ошибкой округления лишь тогда, когда ошибки всех слагаемых (т.е. приближённых чисел):

1. равны между собой по величине;

2. имеют наибольшие значения из теоретически возможных;

3. и имеют одинаковые знаки.

Очевидно, при большом количестве приближённых чисел-слагаемых такое «неблагоприятное» стечение обстоятельств является крайне маловероятным !

На практике, фактически ошибки отдельных слагаемых, как правило, имеют различные знаки и, следовательно, частично компенсирует друг друга, давая меньший вклад в конечный результат вычисления (см. пример из табл. 1). Поэтому на практике наряду с теоретической идеальной погрешностью суммы _u вводят практическую предельную погрешность , реализуемую с некоторой мерой достоверности.

Для иллюстрации этой идеи ограничимся рассмотрением простейшего случая. Пусть все слагаемые x_i (i = 1, 2, …, n) суммы u = x₁ + x₂ + … + x_n округлены до (одного и того же) m-го десятичного разряда. В этом случае все приближённые числа имеют одинаковый уровень абсолютных погрешностей, т.е. значение абсолютной погрешности x_i (i = 1,2, …, n) каждого из слагаемых x_i не превосходит величины z = 0.510^m. В этом случае предельные абсолютные погрешности всех слагаемых также одинаковы: _x1 = _x2 = … = _xn. = .

Пусть далее абсолютные погрешности x_i (i = 1, 2, …, n) слагаемых суммы u независимы (т.е. конкретные значения погрешностей x_i слагаемых суммы не зависят друг от друга, меняясь от числа к числу в интервале значений [0, z] ) и подчиняются нормальному закону распределения вероятности с одной и той же мерой точности, т.е. предположим, что с вероятностью, превышающей число , абсолютные погрешности всех слагаемых не превышают числа , т.е. P (x_i  ) > .

При этих условиях в теории вероятности доказывается [1, стр. 51], что с той же мерой достоверности абсолютная погрешность суммы u = x₁ + x₂ + … + x_n будет удовлетворять неравенству:

u   , n – число слагаемых (4)

Таким образом, при данных условиях, за предельную абсолютную погрешность суммы можно принять число:

= (5)

Например, складывая 100 чисел с абсолютной погрешностью 0.1 в соответствии с формулой (3) мы получим теоретическую предельную ошибку суммы _u = 0.1100 = 10. Фактически же (на основе вероятностного подхода) можно ожидать, что эта ошибка не превзойдёт величины = 0.110 = 1.

В частности рассмотрим среднее арифметическое значение n приближённых чисел, удовлетворяющих описанным выше условиям.

 = .

Согласно классическому подходу предельная абсолютная ошибка данной сумы  равна:

_ = ;

Тогда как в соответствии с (5) с высокой степенью достоверности следует, что:

= . (6)

Отсюда следует важный практический вывод, что