1.5 Относительная погрешность приближённого числа

Знание абсолютной погрешности (или предельной абсолютной погрешности) результата измерения (приближённого числа) недостаточно для характеристики точности измерения или вычисления.

Так, например, если при измерении длин двух стержней получены результаты l₁ = 100.8 см  0.1 см и l₂ = 5.2 см  0.1 см, то, очевидно, что, несмотря на совпадение значений предельных абсолютных погрешностей, можно заключить, что качество первого измерения выше чем качество второго.

Для характеристики точности проведённых измерений существенна абсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины (т.е. на единицу измерения), которая называется относительной погрешностью.

Определение 5. Относительной погрешностью  приближённого числа a называется отношение абсолютной погрешности  этого числа к модулю соответствующего точного числа A (A  0), т.е.

(5)

Непосредственно из формулы (5) следует, что

 =  A  (6)

Также как и для абсолютной погрешности , для относительной погрешности  целесообразно ввести понятие предельной относительной погрешности.

1.6 Предельная относительная погрешность приближённого числа

Определение 6. Предельной относительной погрешностью  _a данного приближённого числа a называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа.

В соответствии с данным определением:

  _a (7)

Отсюда следует, что

   A  _a, (8)

поэтому в соответствии с неравенством (8) и неравенством (3):   _a, определяющим предельную абсолютную погрешность _a приближённого числа a, в качестве предельной абсолютной погрешности приближённого числа a можно принять величину:

_a =  A  _a (9)

Так как на практике число A обычно неизвестно, но при этом мы всё-таки считаем, что A  a, то вместо формулы (9) часто пользуются практически приемлемой (т.е. практической) формулой:

_a =  a  _a (10)

Отсюда, зная предельную относительную погрешность _a, на основе формулы (4): a  _a  A  a + _a, получают границы для точного числа A:

a (1  _a)  A  a (1 +  _a) (11)

То обстоятельство, что точное число A лежит между a(1  _a)  и  a(1 +  _a), условно записывают так: A = a(1  _a).

Пусть a - приближённое число, заменяющее точное A, и _a  предельная абсолютная погрешность числа a. Положим для определённости, что A > 0, a > 0, и _a < a. Тогда поскольку a  _a  A  a + _a то, в соответствии с определением относительной погрешности имеем:

.

Поэтому в качестве предельной относительной погрешности числа a можно принять величину:

(12)

Аналогично, из соотношений

a  _a  A  a + _a и

следует, что

или .

Разрешая последнее неравенство относительно  получаем:

.

Это означает, что в качестве предельной абсолютной погрешности _a приближённого числа a можно принять величину:

(13)

Если, как это обычно бывает на практике, и (знак << означает «значительно меньше»), то из (12) и (13) следует, что приближённо можно принять:

(14)

(15)

Примечание.

1. Знание введённых выше абсолютной и относительной погрешностей (,  ), которые иногда называют истинными погрешностями, требует знания точного (или истинного) значения числа A. В том случае, когда точное значение числа A неизвестно и, следовательно, неизвестны истинные погрешности, то получаемые результаты измерений и вычислений описывают предельной абсолютной (_a) и предельной относительной погрешностью ( _a), которые в литературе часто называют предельными погрешностями.

2. Поскольку зачастую истинные погрешности вычислений (или измерений) не известны, то там, где не может возникнуть недоразумений, предельные погрешности _a и  _a зачастую называют просто абсолютной и относительной погрешностями.

2. Основные источники погрешностей.

При численном решении математических или прикладных задач в получаемых результатах неизбежно появление погрешностей, которые условно относят к одному из трёх основных типов.

1. Погрешность задачи (погрешность самой постановки математической задачи).

2. Погрешность метода (погрешность, связанная со способом или методом решения данной математической задачи).

3. Погрешность действий (погрешность, связанная с действиями над приближёнными числами при решении задачи).

Погрешность задачи. Математические формулы редко точно отображают реальные явления: обычно они дают лишь более или менее идеализированные модели, соответствующие степени нашего понимания того или иного изучаемого явления природы. Как правило, при изучении тех или иных явлений природы принимаются некоторые, упрощающие задачу, условия или при построении модели не учитываются какие-то факторы, влияющие на изучаемую величину (поскольку очевидно, что при построении любой модели невозможно учесть абсолютно все факторы, влияющие на изучаемое явление).

Также понятно, что параметрами многих математических моделей, как правило, являются приближённые числа (которые присутствуют в модели, например, из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений). Всё это приводит к появлению погрешности у получаемого результата вычисления, которую принято называть погрешностью задачи.

Понятно, что для вычислителя погрешность задачи следует считать безусловной и неустранимой, хотя постановщик задачи (при соответствующей корректировке модели) может изменить погрешность задачи.

Погрешность метода. Это погрешность, связанная со способом (т.е. методом) решения поставленной математической задачи. Погрешность метода появляется в результате подмены исходной математической модели другой (или конечной последовательностью других), например, линейных моделей, которая (подмена) необходима для проведения вычислительной процедуры в соответствии с имеющимися алгоритмами вычислений.

При создании численных методов разработчиками методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей (обусловленных указанными выше подменами) и способ доведения их до сколь угодно малого уровня. Следовательно, к погрешности метода следует относиться как к устранимой или условной погрешности.

Погрешность действий (или погрешность округлений). Этот тип погрешностей обусловлен необходимостью выполнять (при реализации вычислительной процедуры) арифметические операции над числами, усечёнными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.

Рекомендации по учёту погрешностей, появление которых неизбежно при численном анализе математических моделей.

Все три перечисленных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. Поскольку первый тип погрешности не находится в пределах компетенции вычислителя, то для вычислителя он служит лишь ориентиром точности, предъявляемым к точности методов применяемых для расчёта математической модели.

Понятно, что нет смысла решать математическую задачу существенно точнее, чем это диктуется неопределённостью исходных данных. Таким образом, погрешность метода должна быть согласована (подчинена) с погрешностью задачи.

При выводе оценок для погрешностей численных методов обычно исходят из предположения, что все операции над числами выполняются точно. А это означает, что погрешность округлений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, то есть должна подчиняться погрешности метода. Влияние погрешности округления не следует упускать из вида ни на стадии отбора и алгоритмизации численных методов, ни при выборе вычислительных и программных средств, ни при выполнении отдельных действий, ни при вычислении значений функций, входящих в модель решаемой задачи.

3. Десятичная запись приближённых чисел. Значащая цифра.

Любое положительное число a может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби в соответствии со следующим алгоритмом:

a = _m10^m + _{m 1}10^{m 1} + _{m 2}10^{m 2} + _{m 3}10^{m 3} + … + _{m n+1}10^{m n+1} + … (16)

где

_i  цифры (или десятичные знаки), образующие число a (_i = 0, 1, 2, …, 9); причём старшая цифра _m  0;

m  некоторое целое число (старший десятичный разряд числа a);

n – количество десятичных разрядов, необходимых для записи числа a.

Например, десятичное число 3141.59 в соответствии с формулой (16) можно представить в виде:

3141.59 = 3·10 ³ + 1·10 ² + 4·10 ¹ + 1·10 ⁰ + 5·10 ^{ 1} + 9·10 ^{ 2},

где m = 3; n = 6;

Каждая единица (т.е. единица каждого разряда), стоящая на определённом месте при записи числа a в виде десятичной дроби (16), имеет своё значение. Так единица, стоящая на первом месте (т.е. на месте старшего десятичного разряда  m), равна 10^m, на втором месте (на месте десятичного разряда m 1) – равна 10^{m 1}, …, на n-м – равна 10^{m n +1}.

Значащая цифра приближённого числа

Определение 7. Значащей цифрой приближённого числа a называется всякая цифра в его десятичной записи, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохранённого десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближённого числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам.

Иначе говоря, значащими цифрами приближённого числа а называют все цифры в его записи (16) начиная с первой слева, цифры отличной от нуля.

Например, приводимые ниже числа имеют следующее количество значащих цифр:

5423.47  6 значащих цифр; 0,0000605  3 значащие цифры, 0,060500  5 значащих цифр.

При позиционном изображении числа a, представляемого по формуле (16) иногда приходится вводить дополнительные нули в начале или конце числа, необходимые для обозначения десятичных разрядов остальных цифр данного числа. Такие нули (ниже в примере они подчёркнуты) не являются значащими цифрами.

Например, при десятичной записи чисел 0.007010 и 20030 00000 в соответствии с формулой (16) необходимо введение дополнительных нулей для обозначения десятичных разрядов остальных цифр данного числа:

a = 7·10 ^{ 3} + 0·10 ^{ 4} + 1·10 ^{ 5} + 0·10 ^{ 6} = 0.007010 …,

или, например,

a = 2·10 ⁹ + 0·10 ⁸ + 0·10 ⁷ + 3·10 ⁶ + 0·10 ⁵= 20030 00000.

Как видно из приведенных примеров, цифра 0 имеет особое значение при определении числа значащих цифр.

Например, в числе 0.00710300 первые три нуля не являются значащими цифрами и служат только для установления старшего десятичного разряда числа. Остальные три являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами, а второй и третий, как отражено в записи, указывают, что в приближенном числе сохранены десятичные разряды 10^8 и 10^7. Если же в данном числе 0.00710300 последние две цифры не являются значащими цифрами, то это число лучше записать в виде 0.007103. Поэтому числа 0.00710300 и 0.007103 не равноценны, так как первое из них имеет 6 значащих цифр, а второе – только 4 значащих цифры.

В числе 0.002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй нуль, как это отражено в записи, указывает на то, что в приближённом числе сохранён десятичный разряд 10 ^{ 6}. В случае, если в данном числе 0.002080 последняя цифра не являлась бы значащей, то данное число имело бы позиционное изображение: 0.00208 . С этой точки зрения числа 0.002080 и 0.002080 не равноценны, так как первое из них содержит четыре значащие цифры, а второе лишь три значащих цифры.

При написании больших чисел нули справа могут служить как для обозначения значащих цифр, так и для определения разрядов остальных цифр. Поэтому при обычной записи таких чисел могут возникнуть неясности при определении количества значащих цифр для данных чисел.

Например, рассматривая число 689000, мы не имеем возможности по его виду судить о том, сколько в нём значащих цифр, хотя конечно можно утверждать, что их не меньше трёх. Этой неопределённости можно избежать, записав его в формате 6.89·10 ⁵, если оно имеет три значащие цифры; или 6.8900·10 ⁵, если оно имеет пять значащих цифр. Вообще указанный формат удобен для записи чисел, содержащих большое количество незначащих нулей, например, 0.000 000 120 = 1.20·10 ^{ 7}.

Всё сказанное выше целесообразно подытожить в виде следующего практического правила:

Значащими цифрами приближённого числа называются все цифры, кроме нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры. Нули, записанные в конце числа всегда значащие (в противном случае их просто не пишут) !

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Различают значащие цифры верные в узком и широком смыслах.

4. Количество верных знаков приближённого числа.

Введём понятие о верных десятичных знаках приближённого числа.

Десятичные знаки приближённого числа верные в узком смысле.

Определение 8. Говорят, что n первых значащих цифр приближённого числа являются верными (в узком смысле), если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо.

Так если для приближенного числа a, которое заменяет точное число A:

a = _m10^m + _{m 1}10^{m 1} + _{m 2}10^{m 2} + _{m 3}10^{m 3} + … + _{m n+1}10^{m n+1} + …

известно, что

 =  A  a  , (17)

то по определению 8, первые n цифр этого числа: _m, _{m 1}, _{m 2}, _{m 3}, …, _{m n+1} являются верными (в узком смысле).

Например, для точного числа A = 35.97 число a = 36.00 является приближением с тремя верными знаками потому, что в данном случае в соответствии с формулой (11), определяющей десятичную запись числа a, имеем:

a = 3·10 ¹ + 6·10 ⁰ + 0·10 ^{ 1} + 0·10 ^{ 2} = 36.00;

 m = 1; и если считать цифру для n = 3, значащей (т.е. цифру, расположенную на третьем месте при записи числа a слева направо), то

 =  A  a = 0.03  .

Необходимо отметить следующее, очень важное обстоятельство:

В математических таблицах все помещённые значащие цифры являются верными.

Так, например, в пятизначных таблицах логарифмов гарантировано, что абсолютная погрешность мантиссы не превосходит .

Десятичные знаки приближённого числа верные в широком смысле

В некоторых случаях, например при получении числа путем измерения, удобнее говорить о числе верных знаков в широком смысле.

Определение 9. Говорят, что число a является приближением точного числа A с n верными знаками (в широком смысле), понимая под этим, что абсолютная погрешность  =  A  a приближённого числа a не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой приближённого числа. Таким образом, если для приближенного числа a:

a = _m10^m + _{m 1}10^{m 1} + _{m 2}10^{m 2} + _{m 3}10^{m 3} + … + _{m n+1}10^{m n+1} + …

известно, что

 =  A  a  , (18)

то по определению 9, первые n цифр этого числа: _m, _{m 1}, _{m 2}, _{m 3},…, _{m n+1} являются верными (в широком смысле).

Например, для точного числа A = 412.3567 число a = 412.356 является приближением с шестью верными знаками (n = 6) в широком смысле потому, что в данном случае m = 2,  = 0.0007 < = 110^3.

Приведенный способ определения числа верных значащих цифр по известной абсолютной погрешности, связанный с решением неравенства, можно заменить более простым правилом:

Число верных знаков (в широком смысле) в приближенном числе отсчитывается, начиная с первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной погрешности.

Например, определим по данному правилу количество верных значащих цифр в узком и широком смысле для числа а = 0.0076539, если ∆ = 0.000037. Для этого напишем абсолютную погрешность над числом а:

∆ = 0.000037

а = 0.0076539

Очевидно, что все значащие цифры, стоящие слева перед вертикальной чертой, проведенной перед первой значащей цифрой погрешности, будут всегда верными в широком смысле, так как число, стоящее за вертикальной чертой (в погрешности), всегда меньше единицы разряда, стоящего слева от черты, в данном случае: ∆ = 0.000037 < 0.0001. В данном случае значащие цифры 7 и 6, стоящие слева от черты, будут верными и в узком смысле. Так как величина погрешности меньше половины единицы разряда, которому принадлежит последняя значащая цифра: ∆ = 0.000037 < 0.00005.

Если же для числа а = 0,0076539 ∆ = 0,0000503, то по этому же правилу имеем

∆ = 0.0000503

а = 0.0076539

и, следовательно, число а будет иметь две значащие цифры в широком смысле и только одну в узком, так как 0.50310⁻⁴ > 0.510⁻⁴.

5. Правило округления приближённых чисел.

Округление чисел.

Рассмотрим некоторое приближённое или точное число a, записанное в виде десятичных знаков (т.е. в десятичной системе счисления). На практике часто возникает необходимость в округлении этого числа, т.е. в замене числа a числом a₁ с меньшим количеством значащих цифр. Число a₁ выбирают так, чтобы погрешность округления ½a - a₁½ была минимальной.

При округлении приближённых чисел пользуются следующим правилом округления (Правило 1).

Правило1: « Округление приближённых чисел (по дополнению) » Для того чтобы округлить число a до n значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n-й значащей, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями (т.е. после округления лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются). При этом: Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов (т.е. первая из отброшенных цифр) меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки (цифры) числа не изменяются. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов (т.е. первая из отброшенных цифр) больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов (т.е. первая из отброшенных цифр) равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов (т.е. первая из отброшенных цифр) равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она чётная, и увеличивается на единицу, если она не чётная (правило чётной цифры).

Иными словами, если при округлении числа отбрасывается меньше половины единицы последнего сохраняемого десятичного разряда, то цифры всех сохранённых разрядов остаются неизменными; если же отброшенная часть числа составляет больше половины единицы последнего сохраняемого десятичного разряда, то цифра этого (сохраняемого) разряда увеличивается на единицу.

При этом в исключительном случае, когда отброшенная часть в точности равна половине единицы последнего сохранённого десятичного разряда, то для компенсации знаков ошибок округления используется правило чётной цифры.

При применении правила 1 погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Погрешность округления приближённых чисел.

Выше было показано, что при округлении приближённых чисел в соответствии с правилом 1 погрешность округления не превышает половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

В случае необходимости точное значение погрешности округления приближенного числа a до приближённого числа a₁ (содержащего меньшее количество значащих цифр, чем число a) вычисляется по формуле: ½a - a₁½. Полученное значение погрешности округления приближённых чисел записывается в соответствии с правилом 2 (которое также используется и при записи погрешности результатов измерений).

Правило 2: «Правило записи погрешности результатов округления» Погрешность результата округления (или измерения) указывается двумя значащими цифрами (т.е. округляется в большую стону до двух значащих цифр), если первая из них равна 1 или 2, или указывается одной значащей цифрой (т.е. округляется в большую стону до одной значащей цифры) - если первая цифра равна 3 или более.

Если руководствоваться данными правилами (правилом 1 и правилом 2), то количество верных значащих цифр в численном значении приближённого числа даёт возможность ориентировочно судить о точности измерения или вычисления.

Точность приближённого числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. В тех случаях, когда приближённое число содержит излишнее количество неверных значащих цифр прибегают к округлению. Приходится также округлять и точные числа, содержащие слишком много или бесконечное количество значащих цифр, сообразуясь с общей точностью вычислений (которая свойственна данной математической задаче).

Если точное число A округлить по правилу 1 до n значащих цифр, то полученное в результате приближённое число a будет иметь n верных значащих цифр (в узком смысле).

Пусть имеется точное число A, для которого число a – является приближением. Пусть далее приближённое число a округлено до n значащих цифр – в результате получено число a₁, тогда предельная абсолютная погрешность числа a₁ складывается из абсолютной погрешности числа a и погрешности округления:

A  a₁ A  a + a  a₁.

6. Связь относительной погрешности приближённого числа с количеством верных знаков этого числа.

Докажем теорему, которая связывает величину относительной погрешности приближённого числа a с количеством верных знаков этого числа.

Теорема 1. Если положительное приближённое число a имеет n верных десятичных знаков в узком смысле (определение 8), то относительная погрешность  этого числа не превосходит величины:

, (19)

где _m – первая значащая цифра числа a.

Доказательство. Пусть положительное число a:

a = _m10^m + _{m 1}10^{m 1} + _{m 2}10^{m 2} + _{m 3}10^{m 3} + … + _{m n+1}10^{m  n+1} + … (_m 1)

является приближённым значением точного числа A и имеет n верных десятичных знаков в узком смысле (в смысле определения 8). Тогда по определению 8 его абсолютная погрешность удовлетворяет неравенству:

 = A  a 

Раскрывая модуль, получаем эквивалентную систему неравенств:

A  a 

Рассмотрим второе неравенство данной системы: , которое устанавливает нижнюю границу для значения точного числа A в случае, когда a > A. Очевидно, что данное неравенство ещё более усилится, если в нём число a заменить заведомо меньшим числом _m10^m  a; 

A  _m10^m – (20)

Согласно условию теоремы параметр n в неравенстве (20) характеризует количество первых значащих цифр (т.е. десятичных знаков) в записи приближённого числа a, которые являются верными. Поэтому по смыслу n – это целое положительное число, большее или равное единицы (т.е. n  1).

Очевидно, что правая часть неравенства (20) достигает наименьшего значения при n = 1, поэтому, полагая n = 1, получаем, что:

A  (21)

Поскольку _m – это первая цифра в десятичной записи приближённого числа, следовательно, 1  _m  9, поэтому , и, следовательно, неравенство (21) только усилится, если в нём сомножитель (2_m– 1) заменить на _m; поэтому неравенство (21) можно заменить неравенством:

A  (22)

Учтём, что приближённое число a имеет n верных десятичных знаков в узком смысле, и, следовательно, его абсолютная погрешность удовлетворяет неравенству:

 = A  a  ,

поэтому для оценки относительной погрешности  с учётом неравенства (22) имеем:

(23)

Итак, (24)

Теорема 1 доказана.

Сформулируем следствия теоремы, полезные для практических приложений.

Следствие 1. Если приближённое число a имеет n верных десятичных знаков в узком смысле, то за предельную относительную погрешность числа a можно принять величину:

(25)

Действительно, в соответствии с определением 6 предельной относительной погрешностью  _a данного приближённого числа a называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа, поэтому из неравенства (24) следует, что таким числом является число, определяемое выражением (25).

Следствие 2. Если приближённое число a имеет не меньше двух верных знаков в узком смысле (т.е. если n  2), то практически справедлива формула:

(26)

Действительно, практически всегда при n  2 можно пренебречь числом в неравенстве (20): A 

тогда имеем, что: A   A 

Отсюда , что , и 

Следствие 3. Если приближённое число a имеет n верных десятичных знаков в широком смысле (определение 9), то относительная погрешность  этого числа не превосходит величины:

(27)

и, следовательно, за предельную относительную погрешность числа a можно принять величину:

(28)

Данный вывод следует из определения относительной погрешности  приближённого числа a:

и определений количества верных знаков приближённого числа в широком и узком смысле.

Действительно, пусть приближённое число a представлено в виде стандартной десятичной записи:

a = _m10^m + _{m 1}10^{m 1} + _{m 2}10^{m 2} + _{m 3}10^{m 3} + … + _{m n+1}10^{m  n+1} + … (29)

Будем считать, что данное приближённое число a имеет n верных знаков в узком смысле, тогда

а_(узк.) =  ,

если же считать, что это же число a имеет n верных знаков в широком смысле, тогда

а_(шир.) =  .

Таким образом, если считать, что в записи (29) n первых десятичных знаков верны узком смысле, а затем, считать их верными в широком смысле, тогда относительная погрешность записи этого числа в первом случае (узкий смысл) будет в два раза меньше относительной погрешности записи этого числа во втором случае (широкий смысл). Следовательно, выражения

(19),

(25)

, (26)

верные для приближённого числа (29) в случае, если его n первых десятичных знаков верны в узком смысле необходимо увеличить в два раза для случая, когда те же значащие цифры считаются верными в широком смысле:

(30а) (30б) (30в)

7. Определение количества верных знаков приближённого числа по его относительной погрешности.

Доказанная выше теорема 1 и её следствия позволяют по числу верных знаков (как в широком, так и в узком смысле) приближённого числа a:

a = _m10^m + _{m 1}10^{m 1} + _{m 2}10^{m 2} + _{m 3}10^{m 3} + … + _{m n+1}10^{m n+1} + …

определить границу его относительной погрешности .

На практике вполне естественно возникает вопрос о том можно ли решить обратную задачу, т.е. определить n  количество верных знаков приближённого числа a, если известна его относительная погрешность .

Указанную обратную задачу можно решить в случае, если считать, что для определения относительной погрешности  верна приближённая формула: , которая получается из формулы (5):

(31)

в предположении, что a > 0 и  - мало. Из формулы (31) следует, что:

(32)

Теорема 2. Пусть относительная погрешность  приближённого числа a удовлетворяет неравенству , где n – целое положительное число (n 1). Тогда в случае, если верна приближённая формула (31), то приближённое число a заведомо имеет n верных значащих цифр в широком смысле (т.е. в смысле определения 9).

Доказательство. Пусть относительная погрешность  числа a удовлетворяет неравенству

, (33)

где n – целое положительное число (n  1), тогда из формул (29) и (33) имеем:

 =  a  (_m10^m + _{m 1}10^{m 1} + _{m 2}10^{m 2} + … + _{m n+1}10^{m n+1} + …) =

= (_m + _{m 1}10^{ 1} + _{m 2}10^{ 2} + … + _{m n+1}10^{ n+1} + …). (34)

В соответствии с десятичной записью (16), (29) приближённого числа a коэффициентами

_m, _{m 1}, _{m 2}, …, _{m n+1}

в выражении (34) являются цифры, которыми выражаются десятичные разряды приближённого числа a, т.е. это некоторые целые числа от 1, до 9 включительно. Поэтому своего максимального значения выражение (34) достигнет в случае, если все _m = _{m 1} = _{m 2} = …= _{m n+1} = … = 9. Следовательно, неравенство (34) только усилится, если в нём положить, что _m = _{m 1} = _{m 2} = …= _{m n+1} = … = 9. В этом случае выражение (34) можно переписать в виде:

  (_m + _{m 1}10^{ 1} + _{m 2}10^{ 2} + … + _{m n+1}10^{ n+1} + …) 

 9 (1 + 10^{ 1} + 10^{ 2} + … + 10^{ n+1} + …)  9 (35)

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии в выражении (35) может быть вычислена по формуле:

В данном случае при b = 0.1, получаем:  из (34) получаем, что:

  = 10 = 10 ^{m n+1} и  окончательно имеем:

 =  a  10 ^{m n+1} (36)

Таким образом, мы получили, что абсолютная погрешность  числа a удовлетворяет неравенству (36), а это, в соответствии с определением 9 означает, что приближённое число a заведомо имеет n значащих цифр в широком смысле.

Теорема 2 доказана.

Следствие. По аналогии с теоремой 2 доказывается следующее утверждение. Пусть относительная погрешность  приближённого числа a удовлетворяет неравенству

, (37)

где n – целое положительное число (n 1). Тогда в случае, если верна приближённая формула , то приближённое число a заведомо имеет n значащих цифр в узком смысле (т.е. в смысле определения 8).

Замечание. Указанный способ определения числа верных знаков является приближённым. При точном подсчёте верных значащих цифр приближённого числа a следует исходить из неравенств:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить предельную абсолютную погрешность числа a = 3.14 , заменяющего иррациональное число   3.1415926535… .

Решение. В соответствии с определением предельной абсолютной погрешности _a числа a = 3.14 имеем:

_a   =  A  a =    3.14 

Для определения величины _a воспользуемся, например, известным неравенством:

 < 3.15.

Поскольку A =  < 3.15, то  =    3.14  < 3.15  3.14  = 0.01, т.е.  < 0.01 и, следовательно, в соответствии с определением предельной абсолютной погрешности _a в качестве величины _a можно принять значение _a = 0.01.

Если же, из каких-либо источников, нам известно более точное неравенство для числа A = , например,  < 3.142, то на основе аналогичных рассуждений для величины _a можно получить лучшую оценку: _a = 0.002.

Пример 2. Округление приближённых чисел.

1. Округлить число   3.1415926535… до пяти, четырёх и трёх значащих цифр.

Решение. В соответствии с правилом округления (правило 1), после округления соответственно получим приближённые числа: 3.1416; 3.142; 3.14;

При применении правила 1 погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Поэтому предельные абсолютные погрешности полученных приближённых чисел соответственно равны: ; ; .

2. Округлить число 1.2500 до двух значащих цифр.

Решение.

В соответствии с правилом округления, после округления получим приближённое число 1.2 с предельной абсолютной погрешностью равной:

3. Округлить число 3.498 до трёх значащих цифр.

Решение.

В соответствии с правилом округления, округляя число 3.498 до трёх значащих цифр, получим число: 3.50 с абсолютной погрешностью равной:  = 0.002  0.005, поэтому крайний правый ноль в числе 3.50 является значащей цифрой и его нужно сохранять в записи.

4. Округлить числа А1 = 273.25001; A2 = 2.71828; A3 = 273.15; А4 = 273.25 до десятых долей.

Решение.

В соответствии с правилом округления, имеем:

a1 = 273.3; a2 = 2.7; a3 = 273.2; a4 = 273.2

Здесь при округлении до десятых долей чисел A3 = 273.15; А4 = 273.25 мы воспользовались п. 4 правила 1  «правило чётной цифры»:

Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов (т.е. первая из отброшенных цифр) равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она чётная, и увеличивается на единицу, если она не чётная.

Пример 3. Определение значащих цифр приближённого числа.

Определить количество значащих цифр у приближённых чисел 0.001406; 5.0300;

Решение. В соответствии с определением 7

значащими цифрами числа называются все цифры, кроме нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры. Нули, записанные в конце числа, всегда значащие (в противном случае их не пишут !!!).

заключаем, что числа 0.001406, 5.0300 имеют соответственно 4 и 5 значащих цифр.

Если же мы хотим показать, что, например, у числа 400000 только два значащих нуля, то это число следует записать в виде произведения двух сомножителей: 400⋅10³, или 0.400⋅10⁶. Последняя форма записи называется нормальной и является предпочтительной.

Пример 4. Дано приближенное число a = 88.325 и известно, что у этого числа три верных значащих цифры в широком (узком) смысле. Оценить абсолютную и относительную погрешность в обоих случаях.

Решение. В соответствии с определениями 9, 8 заключаем, что поскольку у числа a три верные цифры в широком (узком) смысле, то абсолютная погрешность данного числа не превосходит единицы (половины единицы) последнего верного разряда, т.е. для данного примера имеем:

a = 88.325

_(шир.) =   _(шир.) ≤ 0.1;

_(узк.) =   _(шир.) ≤ 0.05;

Для определения относительной погрешности приближённого числа a = 88.325 воспользуемся следствиями 2 и 3 из этой теоремы:

В случае, если приближённое число a имеет три (т.е. не меньше двух верных знаков в узком смысле - n = 3), то практически справедлива формула (26):

в нашем случае

В случае, если приближённое число a имеет три (т.е. не меньше двух верных знаков в широком смысле - n = 3), то практически справедлива формула (30 в):

в нашем случае

Пример 5. Дано приближенное число a = 2.7182 известно, что его абсолютная погрешность Δ = 0.007. Определить, какие значащие цифры этого приближенного числа будут верными в широком (узком) смысле.

Решение. В силу соотношений (17), (18) имеем:

_(узк.) =  ,

_(шир.) =  .

Следовательно, в нашем случае:

В узком смысле  = 0.007 ,

В широком смысле  = 0.007 .

Учитывая, что в данном случае для числа a = 2.7182; m = 0, получаем

В узком смысле  = 0.007 ,

В широком смысле  = 0.007 .

Разрешая эти неравенства, получаем, что

n ≤ 2 при  в узком смысле

n ≤ 3 при  в широком смысле.

Таким образом, у приближенного числа a = 2.7182 по крайней мере три верных знака в широком смысле и два верных знака в узком смысле. Про остальные цифры мы не можем сказать, верные они или нет.

Пример 6. Дано приближённое число a = 2.7182 и известно, что его относительная погрешность равна  = 1%. Определить, какие значащие цифры данного приближённого числа будут верными в широком (узком) смысле.

Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношением . И далее найдём n – удовлетворяющее неравенствам:

 =  a  10 ^{m n+1} и  =  a  10 ^{m n+1}

Учитывая, что для рассматриваемого примера m = 0, получим:

= 2.7182·0.01 = 0.027182  10 ^{ n+1}  n  2

= 2.7182·0.01 = 0.027182  0.510 ^{ n+1}  n  2

Поэтому у данного приближённого числа в широком и узком смысле имеется не более двух верных значащих цифр.

Пример 7. Какова будет предельная относительная погрешность результата, если вместо числа  взять число a = 3.14 ?

Решение. В данном случае в соответствии с формулой (16), (29) заключаем, что _m= 3. И поскольку известно, что   3.1415926535, то делаем вывод, что для приближённого числа a количество верных значащих цифр n = 3. Следовательно, в соответствии со следствием 2 из теоремы 1 имеем:

или применительно к данному случаю:

Пример 8. Приближённое число a = 24253 имеет относительную погрешность 1%. Сколько в нём верных знаков?

Решение. В соответствии с формулой (32) имеем:

= 242530.01  243 = 2.4310 ².

Следовательно, заключаем, что абсолютная погрешность числа a = 24253 равна  = 243.

Далее можно воспользоваться правилом:

число верных знаков (в широком смысле) в приближенном числе отсчитывается, начиная с первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной погрешности.

в соответствии с которым, записывая само приближённое число a и его абсолютную погрешность  друг под другом:

a = 24253

 = 243.заключаем, что приближённое число a имеет лишь две верных значащих цифры как в широком, так и в узком смысле (n = 2), т.е. при относительной погрешности в 1% цифра сотен является сомнительной.

Пример 9. Сколько десятичных знаков надо взять для приближённого числа a  , чтобы его относительная погрешность не превышала 0.1 %, т.е. чтобы   0.001 .

Решение. Поскольку  4.4721359549…, то в данном случае в соответствии с формулой (16) _m= 4. Поэтому в соответствии с теоремой 1 - формула (25) имеем:

Поэтому в соответствии с условием задачи нужно потребовать, чтобы:

, отсюда 10^{n  1}  250 и  n  4.

Заключение (план - аннотация лекции №1).

Лекция №1 посвящена введению в дисциплину математическое моделирование физических процессов, изучаемую инженерными специальностями для атомной энергетической отрасли.

В рамках темы «учёт погрешностей приближённых вычислений» даны основные определения: погрешности, абсолютной и предельной абсолютной погрешности, относительной и предельной относительной погрешности. Рассмотрены основные источники, появления погрешностей, возникающих при математическом моделировании процессов различной природы, дана классификация погрешностей, приведены рекомендации по учёту погрешностей при математическом моделировании.

Рассматривается десятичная запись приближённого числа. Дано определение значащей цифры и понятие количества верных (в узком и широком смысле) десятичных знаков приближённого числа.

Приведено правило округления приближенных чисел и правило записи погрешности результата округления.

Рассмотрена связь относительной погрешности приближённого числа с количеством верных знаков этого числа (теорема 1 и три её следствия). Рассмотрены условия определения количества верных знаков приближённого числа по его относительной погрешности (теорема 2 и её следствие).

Приведены примеры решения типовых задач.