Ход занятия

1. Инструктаж по ТБ в компьютерном классе.

2. На лабораторном занятии используется работа в парах (или малых группах).

Студентам необходимо:

- ознакомиться с основными теоретическими сведениями по каждой

из рассматриваемых тем;

- ответить на контрольные вопросы по по каждой

из рассматриваемых тем;

- изучить решение общих исходных практических заданий;

- выполнить представленные задания;

- оформить отчет о лабораторной работе;

- защитить лабораторную работу

Необходимый для повторения теоретический материал по теме:

"Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера"

Системы линейных алгебраических уравнений

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений следующий:

(2),

где а_ij, i=1,...m; j=1,…n—неизвестные величины, называемые коэффициентами системы уравнений. Первый индекс означает номер уравнения, второй—номер неизвестного, при котором стоит коэффициент; b_i, i=1,…m—известные величины, называемые свободными членами, или правыми частями уравнений; x_j, j=1,…n—неизвестные переменные величины (или просто неизвестные).

Система (2)—система линейных уравнений, т.к. все неизвестные входят во все уравнения только в первой степени.

Матрица А, составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов А│В, называется расширенной матрицей системы:

А= , А│В=

Систему (2) можно записать в матричном виде АХ=В,

где Х= ; В= (3).

Набор чисел ₁, ₂,…, _n — решение системы, если при подстановке x₁= ₁; x₂= ₂;…, x_n= _n все уравнения системы превращаются в верные тождества.

Решить систему значит найти все её решения или доказать, что не существует ни одного её решения. Если решений бесконечное множество, то указать способ нахождения каждого из них.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определённой, а если более одного решения, то неопределенной.

Две системы алгебраических линейных уравнений называют эквивалентными или равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Системы n линейных уравнений c n неизвестными.

Общий вид системы уравнений (m=n):

(4).

Матрица А такой системы является квадратной: А= (5) и она имеет определитель Δ, который называется определителем системы.

Метод Крамера

Теорема (правило Крамера). Пусть Δ — определитель матрицы — определитель матрицы системы А, а Δ_j — определитель, полученный из определителя Δ заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если Δ 0, то система линейных уравнений (4) имеет единственное решение, определяемое по формулам

x_i = Δ_j / Δ, j= 1,2,…,n. (7)

Формулы вычисления неизвестных (7) носят название формул Крамера.

Правило Крамера можно использовать, только когда определитель системы Δ не равен нулю.

Пример: Решить, используя правило Крамера, систему уравнений:

Решение:

Δ= = = =-11 0

Вычислим дополнительные определители и значения неизвестных:

Δ₁= = = - =-22; x₁ = Δ₁/ Δ= (-22)/(-11)= 2.

Δ₂= = = =11; x₂ = Δ₂/ Δ= 11/(-11)=-1.

Δ₃= = = =-11; x₃ = Δ₃/ Δ= (-11)/(-11)=1.

Путем подстановки можно проверить, что полученное решение Х=(2,-1,1) является верным.

Контрольные вопросы (ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

1. Что такое определитель системы линейных уравнений?

2. Какие системы называются совместными, несовместными, опре­делёнными, неопределёнными, однородными, неоднородными?

3. Что такое решение системы?

4. Приведите формулы Крамера для решения систем линейных уравнений

5. Какие системы могут быть решены по формулам Крамера?

Практические задания общие(ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

Пример 1. (ОК-1, ОК-2, ОК-11): Решить систему

Решение:

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Оставим без изменения первую строку (здесь элемент а₁₁=1). Получим в первом столбце нули. Воспользуемся свойством 7. Сначала элементы 1-ой строки умножим на (-2) и сложим полученные элементы со 2-ой строкой. Затем умножим элементы 1-ой строки на (-3) и сложим с 3-ей строкой. Умножим на (-1) и сложим с 4-ой строкой. Получим определитель, в котором в 1-ом столбце все элементы, кроме а_11, равны нулю.

Проведем разложение по первому столбцу.

=

Так как =35 ≠ 0, то система имеет единственное решение и формулы Крамера можно применить.

Вычисляем определители:

; ;

; .

Следовательно,

х₁ = = = 2, х₂ = = = - 1,

х₃ = = = 0, х₄ = = = - 2.

Замечание. В случае, когда число неизвестных n велико, практическое использование формул Крамера затруднено в связи с необходимостью большого числа вычислений. Кроме того, что самое главное, в случае, когда коэффициенты уравнений системы заданы приближенно (в практических задачах бывает почти всегда), погрешность решения может быть весьма велика. Поэтому при практическом решении системы уравнений формулы Крамера используют редко.

2. Решить систему по формулам Крамера (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

3. Решить системы уравнений методом Крамера (ОК-1, ОК-2, ОК-11):

а) б) в)

г) д)

Индивидуальные задания(ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

№1. Решите системы линейных уравнений, применяя метод Крамера:

1. 2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10.

Рекомендуемое содержание отчета (для студента).

1. Название лабораторной работы

2. Цель и задачи исследований

3. Электронно-вычислительные средства для расчетов

4.Журнал (тетрадь) исследований (вычислений) с обработкой полученных данных в виде таблиц, графиков (по требованию)

5. Выводы

6. Анализ и защита лабораторной работы производится по результатам представленного студенческой группой отчета (перечень сделанного, рекомендации, ответы на рассмотренные в процессе выполнения контрольные вопросы)

Преподаватель оценивает знание каждого студента.