2. Выбор типа поперечного сечения

Для балок выбирают, как правило, сечение в виде двутавра (ДТ), двух швеллеров (2Ш) или коробчатое (К) (см. рис. 2), причем сечение располагают так, чтобы наибольший изгибающий момент действовал относительно оси, обозначенной на рис.2 как ось x. Как отмечено в п. 1, двутавровое сечение имеет большую жесткость только относительно оси x, поэтому его следует применять, когда изгибающий момент M_y во много раз меньше, чем M_x. Такие же сечения применяют и для стоек, причем если сжатие стойки внецентренное (с изгибом), то сечение располагают так, чтобы изгиб происходил вокруг оси x (см. рис. 2). Но в большинстве случаев для стоек наиболее экономичными оказываются составные сечения из двух (2Ш) или четырех (4У) ветвей, соединенных планками или решеткой из вспомогательных элементов. Увеличивая расстояния между ветвями, можно повысить жесткость сечения на изгиб без роста площади сечения. Однако при этом растут длина, сечение и масса вспомогательных элементов, соединяющих ветви, причем их суммарная масса может превысить массу ветвей сечения, особенно при значительной поперечной силе Q_y. Балки всегда имеют в сечении стенку, соединяющую полки, т. е. ось x у балки является материальной, а свободной может быть только ось y (ДТ, 2Ш, К на рис.2). Это связано с тем, что балки применяют при действии существенной поперечной силы Q_y и сосредоточенных поперечных сил (например, от тележки крана, перемещающейся по полке балки).

В исходных данных работы выбор типа сечения ограничен. Для каждого варианта предложен один тип сечения, если конструкция является стойкой, и другой - если она работает как балка (см. п. 1). Сечение следует расположить так, чтобы ось, обозначенная x на рис.2, совпадала с осью наибольшего изгибающего момента M_max, определяемого по эпюре.

Расчет размеров сечения является весьма сложной операцией и в некоторых случаях осуществляется методом подбора: задают произвольные размеры сечения и проводят проверку конструкции на прочность и жесткость. Если прочность и жесткость не обеспечены, то увеличивают размеры сечения, а если обеспечены с большим запасом - уменьшают. Для сокращения числа попыток желательно подобрать сразу сечение, близкое к необходимому. Для этого при проектировании балок и стоек используют различные приемы.

3. Определение размера сечения стойки

Основной нагрузкой для стойки является продольная сила. Поэтому для выбора сечения используют расчет на прочность при растяжении (сжатии):

(2)

Из этого уравнения находят требуемую площадь поперечного сечения

. (3)

Допускаемое напряжение [σ] при работе на выносливость зависит от марки стали, концентрации напряжений в сечении, числа циклов нагружения и асимметрии цикла. В СНиП допускаемое напряжение при работе на выносливость определяют по формуле

Расчетное сопротивление R_v зависит от концентрации напряжения и от предела текучести материала. Концентрация напряжений в сварных соединениях чаще всего обусловлена сварными швами. Значение коэффициента концентрации зависит от формы, размеров и расположения швов. Чем выше концентрация напряжений, тем ниже допускаемое напряжение.

В СНиП концентрация напряжений учитывается приближенно. Все типы сварных соединений разбиты на восемь групп. Независимо от формы и размеров швов и свариваемых элементов, сварное соединение относят к одной из этих групп. В пределах группы концентрация напряжений принимается постоянной. Наименьшую концентрацию напряжений имеют соединения из 1-й группы, наибольшую из 8-й. Чтобы определить номер группы для конкретного узла, необходимо воспользоваться табл. 83 приложения 8 СНиП. Выдержки из этой таблицы для стали ВСт3сп приведены в табл.5.

Таблица.5

№ группы	Характеристика элементов	Rv, МПа
1	Основной металл с параллельными кромками (прокатными или обработанными механически)	120
2	То же с кромками после газовой резки	100
	Профиль, сваренный непрерывными продольными швами при действии силы вдоль оси шва
	Основной металл у границы стыкового шва, с механически снятым усилием, при одинаковой ширине и толщине соединяемых деталей.
3	То же при разной ширине и толщине деталей	90
4	Соединения встык прокатных профилей	75
5	Основной металл у поперечного ненагруженного ребра, приваренного угловыми швами	60
6	Основной металл в месте перехода к поперечному (лобовому) угловому шву	45
7	Основной металл у конца флангового углового шва в нахлесточном соединении с фланговыми и лобовыми швами	36
8	То же без лобовых швов	27

При резком изменении ширины полосы 1-я группа сохраняется, если радиусы галтелей не менее 200 мм. При уменьшении радиуса до 10 мм номер группы повышается до четвертого. Концентрация напряжений у конца косынки, приваренной встык или втавр, зависит от угла при вершине косынки. Если он менее 45º, то группа 4-я, а при увеличении угла до 90º номер группы увеличивается до седьмого. При наличии в сечении нескольких концентраторов, в расчете используют самый большой номер группы.

В пределах одной группы R_v зависит от марки стали. Чем выше ее предел прочности, тем выше R_v. Однако у более высокопрочных сталей допускаемое напряжение сильнее уменьшается сростом концентрации напряжений. Это приводит к выравниванию R_v у всех сталей при высокой концентрации напряжений. Поэтому приведенные в табл. 5 значения R_v для групп с 3-й до 8-й одинаковы для всех марок стали. Для 1-й и 2-й групп значения R_v у высокопрочных сталей выше, чем приведенные в табл. 5 для стали ВСтЗсп. Отсюда следует, что применение высокопрочных сталей при работе на выносливость целесообразно только при устранении в конструкции острых концентраторов. Наиболее нагруженное сечение проектируемой в работе стержневой конструкции расположено вблизи места ее прикрепления к стенке. Прикрепление лобовыми угловыми швами соответствует 6 группе (см.табл.5), следовательно R_v=45 МПа.

Коэффициент α в формуле (3) зависит от числа циклов n и рассчитывается по формулам: при n≥3,9·10⁶ α = 0,77 для всех групп; при n<3,9·10⁶

для 1-й и 2-й групп α = 0,064(n/10⁶)² - 0,5(n/10⁶) + 1,75;

для групп c 3-й по 8-ю α = 0,07(n/10⁶)² - 0,64(n/10⁶) + 2,2.

Например, для 6-й группы, при n=10⁶, α = 1,63.

Коэффициент γ_v отражает зависимость допускаемых напряжений от показателя асимметрии цикла ρ, равного отношению минимального напряжения за цикл к максимальному, т. е.

, ,

а также от знака напряжений. Растяжение способствует, а сжатие препятствует возникновению трещин, поэтому значение γ_v при одинаковых ρ зависит от знака σ_max. Влияние ρ на допускаемое напряжение связано главным образом с тем, что число циклов до появления усталостной трещины зависит от размаха напряжений (σ_max - σ_min). Поэтому при одинаковых значениях действующего в сечении максимального напряжения σ_max число циклов до разрушения различно в зависимости от σ_min. Соответствующую поправку в расчет вносит коэффициент γ_v: при сжатии ( σ_max < 0) γ_v = 2 / (1 - ρ);

при растяжении, чередующимся со сжатием (σ_max > 0,σ_min < 0; 1≤ρ≤0), γ_v = 2,5 / (1,5 - ρ);

при знакопостоянном растяжении ( σ_max > σ_min > 0, 0≤ ρ ≤0.8)

γ_v = 2/(1,2 - ρ);

при малом изменении растягивающей нагрузки (σ_min→σ_max>0; 0,8≤ρ≤1) γ_v = 1/(1 - ρ).

В случае пульсирующего нагружения, когда σ_min = 0, ρ = 0, при сжатии γ_v = 2, при растяжении γ_v = 1,67. При ρ→1 γ_v → .При этом допускаемое напряжение [σ] становится очень большим. Это означает, что опасность усталостного разрушения уменьшается, но не означает что прочность обеспечена, так как возможно разрушение при первом нагружении. Поэтому при определении [σ] необходимо учесть условия статической прочности и устойчивости. При статическом растяжении (без изгиба)

[σ] =R_y . (4)

Значение расчетного сопротивления R_y по пределу текучести определяют по формуле

R_y =σ_Т/γ_m ,

где γ_m - коэффициент надежности по материалу. Для ВСтЗсп σ_Т= 250 МПа, γ_m = 1,05 , R_y = 238 МПа.

При статическом сжатии допускаемое напряжение снижают в связи с опасностью потери устойчивости:

[σ] =R_y·φ . (5)

где 0<φ≤1. Коэффициент φ  зависит от гибкости и относительного эксцентриситета. Его точное значение может быть найдено только после определения размеров сечения. Для ориентировочного выбора A_тр по формуле

следует задаться значением φ. При небольшом эксцентриситете приложения нагрузки можно принять φ=0,6. Такой коэффициент означает, что прочность стержня при сжатии из-за потери устойчивости снижается до 60% от прочности при растяжении. Если при центральном сжатии φ<0,5 , то сечение выбрано неудачно. Значения φ>0,9 редко удается получить в связи с ограничениями на габаритные размеры сечения. В случае переменной сжимающей нагрузки [σ] следует выбирать равным меньшему из двух значений, получаемых из условия усталостной прочности (3) и из условия устойчивости (5), а при переменной растягивающей нагрузке из условий (3) и (4).

Вычисленную по формуле (2) площадь требуемого сечения необходимо разделить на число ветвей и подобрать по справочнику ближайший по площади сечения стандартный профиль. Далее необходимо провести проверку на прочность (см. раздел 5), поскольку при выборе сечения была учтена только продольная сила, а изгибающий момент не был учтен. Нужна также проверка на устойчивость (см. раздел 6), поскольку точное значение коэффициента φ можно определить только после выбора всех размеров сечения.

В результате этих проверок приходится корректировать выбор размеров сечения, чтобы обеспечить прочность и устойчивость с минимальным запасом, то есть получить рациональное конструктивное решение. Число попыток зависит от правильности выбора A_тр. При изгибе можно получить более удачное значение A_тр, если при расчете внести поправку с учетом эксцентриситетов. Поскольку напряжения от растяжения и изгиба складываются, то суммарное напряжение σ=σ_p+σ_Mx+σ_My=σ(1+m_x+m_y), где m_x и m_y - относительные эксцентриситеты (см. п. 1), в связи с чем значение

позволит сделать более удачный выбор площади сечения стойки.

Для снижения массы конструкции следует увеличивать габаритные размеры сечения (но не выше максимальных, приведенных в задании h_max и b_max). При этом растут момент сопротивления изгибу и коэффициент φ. Особенно выгодно раздвигать ветви составного сечения, так как при этом W и φ повышаются, а масса конструкции растет только за счет соединительных элементов между ветвями. Если сечение сплошное (например, коробчатое) то наилучшим при работе на устойчивость и изгиб будет сечение с минимальной толщиной стенок и максимальными габаритами. Однако толщина стенок не должна быть слишком малой, так как возможны проблемы с местной устойчивостью тонких листов (см. раздел 8). Выбор стали с более высоким пределом текучести дает заметное снижение массы только при малой гибкости конструкции (при φ>0,6), так как при большей гибкости коэффициент φ снижается по мере роста R_y.