Тема 10. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

Из закона Фарадея следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению э.д.с. индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Следовательно, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Но, э.д.с. возникает в любой цепи только тогда, когда на заряды действуют сторонние силы. Эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре. Их возникновение нельзя объяснить силой Лоренца, так как сила Лоренца не действует на неподвижные заряды.

Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

Таким образом так как

то

Циркуляция напряженности электростатического поля E_Q вдоль любого замкнутого контура

Следовательно, электрическое поле , возбуждаемое магнитном полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

Если всякое переменное магнитное поле возбуждает вихревое электромагнитное поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызывающим магнитным полем Максвелл ввел понятие тока смещения. Из всех физических свойств, присущих току проводимости Максвелл приписал току смещения лишь одно – способность создать в окружающем пространстве магнитное поле. По своей сути ток смещения – это изменяющееся со временем электрическое поле. Поэтому ток смещения существует не только в вакууме и диэлектриках, но и внутри проводников, по которым течет переменный ток.

Плотность полного тока

где - плотность тока смещения

– электрическое смещение

Тогда теорема о циркуляции вектора магнитной напряженности Н запишется в виде - обобщенная теорема о циркуляции

вектора магнитной напряженности

В основе теории Максвелла лежит четыре уравнения:

1. - это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.

2. - это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. - теорема Гаусса для поля диэлектрического смещения

электростатического поля в диэлектрике

4. - теорема Гаусса для поля

Итак, полную систему уравнений Максвелла в интегральной форме составляют эти четыре уравнения.

Между величинами, входящими в уравнения Максвелла есть связь

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых заряды, токи периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных полей.

Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используется колебательный контур, состоящий из катушки индуктивностью и конденсатора емкостью и резистора сопротивлением . Электрические колебания можно сопоставить с механическими колебаниями маятника.

Идеализированный контур (сопротивление которого приблизительно равно нулю) имеет вид

Заряд q совершает гармонические колебания по закону

+q

L с где - амплитуда колебаний

-q - собственная частота контура

- период электромагнитных колебаний

формула Томсона

Тогда - дифференциальное уравнение

гармонических колебаний

Сила тока в колебательном контуре

где – амплитуда тока.

Напряжение на конденсаторе

где - амплитуда напряжения.

Таким образом, колебания тока опережают по фазе колебания заряда на , т.е. когда ток достигает максимального значения, заряд обращается в нуль и наоборот.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в контуре имеет вид

- коэффициент затухания

Как и в случае механических колебаний, колебания заряда совершаются по закону с частотой

при

Логарифмический декремент затухания

– число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз.

– время релаксации – время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз.

Добротность колебательного контура

Вынужденные колебания - колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся э.д.с.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы и вынужденных колебаний.

Переменный ток – ток, периодически изменяющийся по величине и по направлению

где и – максимальные (амплитудные) значения напряжения и тока

ωt – фаза тока

ω=2πν – собственная частота переменного напряжения и силы тока.

- эффективные (действующие) значения

напряжения и силы тока

Рассмотрим цепи, к каждой из которых приложено переменное напряжение

R L с

I=I₀sin(t+/2)

~ ~ ~

- активное - индуктивное - емкостное

сопротивление сопротивление сопротивление

Активное сопротивление - при прохождении тока в нем происходит необратимая потеря электрической энергии, которая переходит в другие виды энергии.

– реактивное сопротивление - не вызывает нагревания элементов электрической цепи, т.е электрическая энергия не переходит в другие виды энергии.

Если же последовательно соединены активное сопротивление , и реактивное сопротивление и , то полное сопротивление цепи переменного тока будет определяться по формуле

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и тока

В случае переменного тока

Практический интерес представляет среднее значение мощности за период колебания

Учитывая, действующие значения тока и напряжения выражение средней мощности можно записать в виде

где cos φ – коэффициент мощности.