- 29 -

Калинин Б.Н.

Компьютерное обеспечение математических вычислений

Приложение 2

Пакет прикладных программ mathcad

Краткая инструкция пользователя

оглавление

1. Версии пакета Mathcad 4

2. Правила написания. Панели инструментов. Простые и глобальные определения 4

3. Основные команды 8

3.1. Команды раздела меню Вид 8

3.2. Команды раздела меню Вставка 8

3.3. Команды раздела меню Format 8

3.4. Команды раздела меню Инструменты (Tools) 9

4. Встроенные функции 10

5. Операции с векторами и матрицами 12

6. Циклические операции. Программирование 14

7. Аналитические преобразования 17

8. Графики 20

9. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений 22

10. Решение дифференциальных уравнений 24

11. Интерполяция 27

12. Пример анимации 28

13. Полезные советы 29

14. Вопросы для повторения 29

1. Версии пакета Mathcad

Пакет прикладных программ Mathcad предназначен для математических вычислений. Mathcad позволяет проводить численные и аналитические преобразования, строить графики и выводить полученные результаты на печать. Mathcad содержит систему диагностики, выдающую на экран сообщения об ошибках.

Первые версии семейства Mathcad появились в конце 80-х гг. Эти версии работали в операционной системе DOS и занимали очень мало дискового пространства. Последняя из этих версий, версия 2.53 занимала на диске 850 Кбайт вместе с набором примеров. В то же время эта программа уже многое “умела”, например, позволяла строить трехмерные графики и проводить циклические операции в виде итерационного процесса для скалярных и векторных величин.

Н ачиная с третьей версии, Mathcad работает в системе Windows и позволяет проводить аналитические преобразования. Однако до появления шестой версии вычисления можно было описывать лишь в виде линейной последовательности формул. Начиная с шестой версии, появилась возможность составления программ и организации вложенных циклов. С этого момента Mathcad становится мощным инструментом.

Достоинством пакета Mathcad с самых первых версий является то, что формулы на экране (и в распечатках) выглядят именно так, как мы привыкли их видеть в математической литературе.

Еще одним достоинством является то, что Mathcad позволяет размещать формулы, рисунки, комментарии произвольно, так, как удобно пользователю, в отличие от многих пакетов, где возможно только строго последовательное размещение выражений.

При запуске Mathcad выдает полезные советы. Пример такого совета приведен на рисунке.

2. Правила написания. Панели инструментов. Простые и глобальные определения

О ткроем программу Mathcad с помощью иконки или с помощью стартового меню. Фрагмент основного окна программы показан на рис. 2.1.

Следующий рисунок – рис. 2.2 – представляет собой активную вставку. Если на компьютере установлен Mathcad, то дважды щелкнув мышкой в поле рисунка, окажемся в среде Mathcad и можем потренироваться в написании формул.

Напишем простое выражение: 5^2, – на экране это выглядит как 5². Напишем теперь знак равенства – получим ответ: 5²=25. Написание знака равенства равносильно заданию вопроса: ”Чему равно?” или, иначе, знак равенства означает команду: “Произвести вычисление!”.

Для вызова знака квадратного корня нажмем клавишу обратной косой черты “\”.

Разберем подробно процесс написания математического выражения. В процессе написания Mathcad выделяет с помощью синего уголка последний написанный символ или то место, где должен быть написан следующий символ. По мере написания выражения область выделения перемещается. Например, написав символ “^”, мы тем самым переместим область выделения в показатель степени; при этом появляется указатель (placeholder) того места, куда нужно вписать следующее число или выражение. После того, как мы закончили писать показатель степени, для того, чтобы продолжить написание выражения, мы должны выделить все написанное. Это делается с помощью клавиш-стрелок или с помощью клавиши Space. Эти клавиши позволяют перемещать область выделения и изменять ее размер. Отметим, что такая “технология” написания формул п озволяет сократить количество используемых скобок.

Обычно мы пишем выражение слева направо: новый символ приписываем справа от уголка, выделяющего написанную часть выражения. Для того чтобы появилась возможность добавить символы слева от уже написанного, нужно нажать на клавишу insert; при этом форма выделяющего уголка зеркально изменится. Чтобы вернуть прежнюю форму уголка, нужно повторно нажать на клавишу insert. Например, напишем формулу a+b, нажмем на клавишу insert и напишем слева от написанного знак минус. Если при этом будет выделена вся формула a+b, то Mathcad автоматически добавит недостающие скобки.

Для ввода комментариев нужно вызвать команду меню Insert – Text Region или просто нажать клавишу “ (кавычки). Для окончания ввода достаточно отвести курсор от вводимого текста. Комментарии могут содержать математические выражения. Для ввода формулы нужно поместить курсор в нужное место текста и выбрать команду меню: Insert – Math Region.

Каждое написанное выражение занимает на экране прямоугольную область. Границы этой области можно увидеть, если подвести курсор к данному выражению и щелкнуть левой кнопкой мыши.

Если двигать мышь при нажатой левой кнопке мыши, Mathcad рисует пунктирный прямоугольник. Для того чтобы выделить формулу или группу формул, нужно расширить этот прямоугольник так, чтобы он охватывал нужные формулы. Выделенные формулы можно перемещать с помощью мышки. Выделенные формулы можно переносить в буфер и копировать, используя обычные команды системы Windows: Ctrl+x (Cut), Ctrl+c (Copy) и Ctrl+v (Paste).

В языке программы Mathcad обозначения математических операций могут быть либо непосредственно написаны с помощью клавиатуры, либо перенесены с инструментальных панелей. При этом соблюдаются следующие правила.

• Малые и большие буквы различаются.

• Аргументы функций пишутся в круглых скобках; например, sin(x).

• Круглые скобки используются также для группирования элементов формул (при этом Mathcad по мере необходимости автоматически меняет размеры скобок).

• Знак умножения (*) опускать нельзя.

• Служебные слова, включенные в инструментальные панели Programming и Symbolic, нельзя писать вручную – их необходимо переносить с панелей.

• Написать любую греческую букву можно, написав сначала латинскую букву, а затем нажав на клавиши Ctrl+g.

• Ч

  Рис. 2.3.

  тобы записать число в двоичной системе, нужно приписать к числу букву b (без пробела). Примеры: 10.01b=2.25, 10b^10b=4.

Вернемся к фрагменту основного окна программы Mathcad, показанному на рис. 2.1. Обратим внимание на наличие панели инструментов форматирования, очень похожей на панель форматирования редактора Word. С помощью инструментов этой панели можно легко менять шрифт и размер букв. Например, обращение к функции синус можно написать разным шрифтом: sin(x), или sin(x), или sin(x).

К роме панелей инструментов, входящих в меню, Mathcad включает специализированные панели – окна – для вызова математических операций и одновременного вывода на экран обозначений этих операций. Полный список этих панелей можно видеть в приведенном на рис. 2.3 разделе меню Вид ­­– Панели инструментов (View – Toolbars). Нужную панель можно вызвать на экран, отметив ее в списке.

Обычно по умолчанию кроме стандартной панели и панели форматирования на экран выводится главная математическая панель “Math”, показанная на следующем рисунке. Эту панель можно вызвать, активировав рис. 2.2. Панель Math содержит ссылки на другие специализированные панели. Если к какому-либо элементу панели подвести курсор, появляется поясняющая подсказка. Если щелкнуть мышкой на этом элементе, откроется соответствующее окно. Например, если мы щелкнем на значке “Vector and Matrix Toolbar”, то откроется окно, содержащее значк и вызова векторных и матричных операций. При подведении курсора к элементам этого окна также появляются подсказки, причем эти подсказки содержат клавишные эквиваленты команд. Для вызова нужной команды достаточно щелкнуть мышкой на соответствующем значке или набрать клавишный эквивалент команды. Например, чтобы вызвать программу расчета определителя, достаточно нажать на клавишу “|”.

Содержание остальных панелей инструментов.

Calculator Toolbar – включает наиболее часто используемые функции: тригонометрические и логарифмические, корни разной степени и т.д.

Graph Toolbar – вызывает “заготовки” для графиков.

Evaluation Toolbar – включает знаки присваивания и команды вычислений, численного и аналитического.

C alculus Toolbar – включает знаки производных, интегралов, сумм, произведений и пределов.

Boolean Toolbar – содержит логические операторы.

Programming Toolbar – включает служебные слова, используемые при программировании.

Greek Toolbar – содержит греческие буквы.

Symbolic Toolbar – включает служебные слова, используемые при аналитических операциях.

Полезные разделы содержит панель Ресурсы, показанная на рисунке.

Во многих случаях клавишные команды обеспечивают более быстрый вызов нужного математического символа. Список некоторых часто используемых команд дан в приведенной таблице.

Таблица 2.1. Некоторые команды, вводимые с клавиатуры

Название операции или символа	Правило написания	Вид на экране
Операция присваивания (определения)	:	:=
Операция глобального присваивания	~
Возведение в степень	y^x	yx
Квадратный корень	\x
Абсолютная величина скалярной величины, либо евклидова длина вектора, либо определитель матрицы	|x	|x|
Пара скобок	‘	( )
Суммирование с переносом второго слагаемого в следующую строку	a Ctrl+Enter b	a… +b
Определение диапазона значений для целочисленной переменной	i:n;m	i:=n..m
Определение диапазона значений для произвольной величины x от a до b с шагом c-a	x:a,c;b	x:=a,c. .b
Бесконечность	Ctrl+Shift+z
Число 	Ctrl+Shift+p	
Коэффициент перевода градусов в радианы	deg	Deg
Мнимая единица	1i	I

Отметим, что в активных вставках клавишные команды программы Word имеют приоритет перед одноименными командами вставки. Например, применение команды Ctrl+g – команды превращения латинской буквы в греческую – приводит к вызову диалогового окна программы Word “Найти и заменить”.

Подчеркнем еще раз следующие моменты:

• многоточие в определении диапазона значений вызывается клавишей “;”,

• чтобы написать мнимое число, нужно написать действительное число и букву i (без пробела),

• чтобы написать знак присваивания, нужно нажать на клавишу “:” – двоеточие.

Отметим, что по умолчанию Mathcad представляет в таблице не более 15 чисел. Например, если мы введем определение: n:=2..25, то в ответ на вопрос: “n=” получим таблицу, включающую числа от 2 до 17. Для того чтобы увидеть остальные числа, нужно выделить таблицу и воспользоваться появившейся полосой прокрутки, либо увеличить размер таблицы с помощью мышки.

Область действия простого определения: справа в той же строчке и во всех строчках ниже – до возможного следующего переопределения. Попытка узнать, чему равна величина в строчке, находящейся выше определения, приведет к ошибке.

З амечания:

• Для определения функции не требуется предварительного определения ее аргумента. Значение аргумента требуется лишь к моменту вычисления значения функции.

• Аргумент функции, в свою очередь, может быть некоторой функцией.

• И функция, и ее аргументы могут быть векторами.

• Вводимые пользователем константы могут быть векторами.

• Определению функции должны предшествовать определения входящих в нее констант и функций. Например, определению функции f(x):=exp(-1/a)/a должно предшествовать определение параметра a.

В вычислительной программе, написанной на языке Mathcad, можно выделить три части, обычно следующие в такой последовательности:

- исходные данные,

- алгоритмическая часть – последовательность формул или программа, описывающие алгоритм расчетов,

- результаты расчетов.

И спользование глобальных определений позволяет изменить последовательность частей программы. Например, если программа используется для проведения многократных расчетов, то удобно поместить результаты расчетов рядом с исходными данными, "раньше" алгоритмической части. Для глобального определения используется знак "", для написания которого следует нажать клавишу "~". Область действия глобального определения: весь документ, как ниже, так и выше строчки, содержащей определение (вплоть до возможного следующего глобального переопределения).

(Для того чтобы Mathcad не делал нам замечаний, напишем сначала вторую, третью и четвертую строчки и лишь затем – первую.) Отметим, что для глобальных определений должна соблюдаться обычная логическая последовательность: величина, используемая в правой части глобального определения, должна быть ранее определена (тоже как глобальная!). Так во второй строчке определению y должно предшествовать определение величины x. Область действия глобального определения распространяется на всю программу (или до нового определения введенного идентификатора), так что для области действия определения программа выглядит как бы склеенной в кольцо: первая строка программы следует за ее последней строкой. В данном примере областью действия определений для y и f(x) является вся программа, областью действия определения x 2 во второй строчке являются вторая и третья строки программы, областью действия определения x 3 являются четвертая и первая строки программы.

3. Основные команды

В системе Mathcad доступны все команды меню, типичные для большинства приложений Windows. Таковы, например, команды разделов File, Edit, Window. Остановимся здесь только на некоторых командах, типичных для программы Mathcad.

3.1. Команды раздела меню Вид

• Панели инструментов – вывод на экран панелей инструментов.

• Масштаб – изменение масштаба.

• Обновить (Ctrl+R) позволяет убрать с экрана накопившийся мусор.

3.2. Команды раздела меню Вставка

• Регион формул (Ctrj+Shift+A) – вставка формулы в комментарии.

• Регион текста (") – вставка области комментариев.

3.3. Команды раздела меню Format

Результат.

Команда открывает многостраничное диалоговое окно Формат результатов, позволяющее изменять формат выводимых результатов:

– количество десятичных разрядов (Number of decimal places),

– пороговый уровень (Exponential threshold), значение, при котором представление чисел в формате с фиксированной запятой меняется на представление в формате с плавающей запятой,

– нулевой порог (Zero threshold) – максимальное значение, при котором число представляется на экране, как нулевое.

Количество выводимых десятичных разрядов при обычных численных операциях можно изменять в пределах от 0 до 15, по умолчанию число разрядов установлено равным трем. Пороги перехода на формат с плавающей запятой установлены равными 10³ и 10^-3. По умолчанию числа, абсолютная величина которых меньше 10^-15, представляются на экране нулем.

Если курсор находится в области какого-либо выражения, то изменение формата касается только этого выражения. Если курсор находится на “пустом” месте, то меняется формат всего документа.

Разделить регионы.(Separate regions)

Команда разделяет в рабочем документе перекрывающиеся области. Действие команды нельзя отменить.

Свойства (Properties).

Команда открывает диалоговое окно с таким же названием. (Предварительно должна быть выделена какая-либо математическая область.)

Команды окна позволяют

– выделить формулу цветом фона,

– включить оптимизацию правой части выражения.

Среди других имеется команда Отключить вычисление (Disable Evaluation), позволяющая сделать формулу неактивной. Неактивная формула отмечается небольшим черным прямоугольником. Команда Отключить вычисление доступна также из раздела меню Tools.

П ример 3.1. Комментарии, включающие активную и неактивную формулы: