1.5. Задачи, связанные с дифференциальными уравнениями

Как уже неоднократно отмечалось, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую, представляющую собой частное решение, надо задать дополнительные условия. Во многих случаях такими дополнительными условиями являются начальные условия

, (1.10)

определяющие ту точку (n+1)-мерного пространства переменных х, y₁, ..., y_n, через которую проходит данная интегральная кривая. Задача интегрирования нормальной системы (1.5) с начальными условиями (1.10) называется начальной задачей или задачей Коши.

Лемма 1.1. Пусть функция f(x,у) непрерывна по совокупности аргументов в некотором прямоугольнике Тогда начальная задача

(1.11)

эквивалентна интегральному уравнению

(1.12)

Доказательство. Пусть на сегменте существует решение начальной задачи – функция y(x), причем (т.е. при данных значениях x интегральная кривая находится в области D, где функция f(x,у) непрерывна). Под­ставив у(х) в уравнение (1.11), получим тождество. Интегрируя это тождество от х₀ до х и используя начальное условие , получим интегральное уравнение (1.12). Следовательно, решение начальной зада­чи (1.11) удовлетворяет уравнению (1.12). С другой стороны, если существует непрерывное решение интегрального урав­нения (1.12) – функция у(х), причем ,то, в силу непрерывности f(x, у(x)) интеграл в правой ча­сти (1.12) является непрерывно дифференцируемой функцией х. Следовательно, и левая часть (1.12), т.е. функция у(х), имеет не­прерывную производную, причем эта производная равна f(x, у(x)), а значит, у(х) есть решение уравнения (1.11). Выполнение началь­ного условия проверяется непосредственно. Лемма доказана.

Лемма остается в силе, когда функция f(x,у) является ку­сочно непрерывной функцией переменной х. При этом интегральное уравнение (1.12) имеет непрерывное решение у(х), являющееся кусочно дифференцируемой функцией х. Это решение удовлетворяет уравнению (1.11) на участках непрерывности функции f(x,у).

Аналогичная теорема об эквивалентности имеет место и для системы дифференциальных уравнений.

Кроме задачи Коши рассматриваются и другие задачи для дифференциальных уравнений:

– краевые задачи, в которых дополнительные условия, определяющие частное решение, задаются в нескольких различных точках об­ласти определения решения;

– задачи на собственные значения, со­стоящие в определении параметров в уравнении, при которых существуют частные решения;

– задачи поиска периодических решений и другие.