1.2. Формы представления уравнений

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде соотношения:

. (1.4)

Уравнение включает независимую переменную x, а также неизвестную функцию y(x) и ее производные. Порядок уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение.

В дифференциальное уравнение могут входить также дополнительные переменные: _,…,_k. В этом случае говорят, что неизвестная функция зависит от переменных _,…,_k как от параметров.

Наряду с уравнениями для одной неизвестной функции в теории дифференциаль­ных уравнений рассматриваются системы уравнений. Система урав­нений первого порядка, разрешенных относительно производных

(1.5)

называется нормальной системой. Введя векторные функции Y ^т=(y₁,…,y_n), F ^т=(f₁,…,f_n) можно записать систему (5) в векторной форме

.

Уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид:

Уравнение n-го порядка легко свести к нормальной системе. Для этого введем обозначения:

.

Получим в результате систему уравнений первого порядка для неизвестных .

Пример 1.5. Нормальная система для частного случая уравнения колебаний имеет вид: .

Будем пола­гать независимую переменную действительной величиной. Неизвестные функции могут быть как действи­тельными, так и комплексными функциями действительной пере­менной. Очевидно, что, если в уравнении первого порядка неизвестная функция является комплексной: y(x) = Re(y)+jIm(y), – то такое уравнение эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений для действительных функций Re(y) и Im(y).

Пример 1.6. Частное решение уравнения колебаний в случае малого коэффициента затухания ^ можно записать в виде , где для краткости обозначено . Для проверки достаточно подставить выражения для в исходное уравнение. С помощью такой же проверки легко убедиться, что действительная и мнимая части функции V: , – также являются решениями уравнения.

1.3. Формы представления решения дифференциального уравнения

Решением системы дифференциальных уравнений

(1.6)

называ­ется любая совокупность функций y_i(x) (i=1,…,n), которые при подстановке в уравнения обращают их в тождества. Как правило, если дифференциальное уравнение разрешимо, то оно обладает бесчис­ленным множеством решений. Процесс нахождения решений назы­вается интегрированием дифференциального уравнения.

Если решение задано соотношением, определяющим y как неявную функцию x, то такое решение называется интегралом дифференциального уравнения. Для дифференциального уравнения первого порядка

(1.7)

интеграл может быть записан в виде:

, (1.8)

где С – произвольная постоянная. При каждом фиксированном значении С выражение (1.8) опре­деляет некоторое частное решение у=у(х) исходного уравнения (1.7) как неявную функцию переменного х. Если С рассматривать как параметр, то выражение (1.8) определяет семейство решений у = у(х,С). Если выражение (1.8), в котором С рассматривается как параметр, определяет все множество решений соответствующего дифференциального уравнения, то это выражение называется общим интегралом данного дифференциального уравне­ния, а полученное из него выражение у = у(х,С) называется общим решением дифференциального уравнения.

Обычно рассматриваются уравнений с правыми частями, не­прерывными в некоторой области D изменения неизвестных функ­ций у, и независимой переменной х. Очевидно, что при этом решения y_i(x) представляют собой непрерывно дифференцируемые функции. Однако в приложениях иногда приходится иметь дело с уравнения­ми, правые части которых имеют разрывы (например, при описании ударных нагрузок, мгновенно приложенных сил и т. д.), поэтому и сами решения будут иметь разрывы производных. Тогда естествен­но в качестве решения системы уравнений рассматривать непрерывные функции y_i(x) с кусочно-непрерывными производными. При подстановке в уравнения они дифференцируются всюду, за исключением точек разрыва (или отсутствия) производных. Такое решение естественно назвать обобщенным решением.