§ 18. Отношения между суждениями
Между суждениями А, Е, I, О с одинаковыми терминами существуют четыре вида отношений:
отношение подчинения, в котором находятся суждения А и I, Е и О.
Суждения А и Е — подчиняющие, а суждения I и О — подчиненные.
Из истинности общего суждения следует истинность частного.
Из ложности частного суждения следует ложность общего.
Aи → Iи, Eи → Oи
Iл → Aл, Oл → Eл
отношение частичной совместимости или субконтрарности I - О. Частные суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.
Iл → Ои Ол → Iи
отношение противоположности или контрарности А – Е. Общие суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.
Аи →Ел, Еи → Ал
отношение противоречия А- О, Е –I. Два противоречащих друг другу суждения не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными.
Аи↔ Ол
Ал ↔Ои
Еи ↔Iл
Ел ↔Iл
О
§ 19. Сложные суждения и таблицы истинности
Помимо простых логика изучает также сложные суждения.
Сложные суждения образуются из простых при помощи логических союзов. Существует значительное количество различных логических союзов, но основных - четыре: конъюнкция, дизъюнкции, импликация и эквивалентность.
В естественном языке перечисленные логические союзы выражаются при помощи союзов «и», «либо..., либо», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда».
Каждый из перечисленных союзов бинарен, т. е. соединяет между собой два суждения. При чем не только простые суждения, но и простые со сложными и сложные между собой.
В состав сложных конструкций могут входить по нескольку логических союзов, но каждый будет соединять только два суждения. В таких конструкциях различают связь между главными и.подчиненными логическими союзами.
Соединительное (конъюнктивное) суждение - суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «и»: A& B.
Грамматически соединительное логическое суждение может выражаться следующими образами:
А и В.
А, но В
А, да В
Не только А, но и В
В, хотя и А
А. несмотря на А
А, а также В
Как А, так и В
А вместе с В
А, в то время как В
А, однако В
А, при этом В и т.д.
Истинность или ложность суждения «А и В» полностью определяется истинностью или ложностью составляющих его суждений А и В.
Возможны только следующие четыре комбинации: оба истинны; А истинно, но В ложно; А ложно, но В истинно; оба ложны. Эту зависимость можно графически изобразить в виде следующей таблицы:
-
А
В
А и В
истинно
истинно
истинно
истинно
ложно
ложно
ложно
истинно
ложно
ложно
ложно
ложно
Грамматическим союзом «и», соединяют обычно суждения, имеющие между собой что-либо общее по смыслу. Логический же союз «и» может соединять любые суждения. Единственное требование для того, чтобы конъюнктивное суждение было истинным, заключается в том, чтобы были истинными оба составляющих его суждения.
2. Разделительные (дизъюнктивные) суждения.
а) Строгой дизъюнкцией или исключающе-разделительным называется суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «либо..., либо»: A ¥ B. (или чаще – символ перечеркнутой двусторонней стрелки)
А либо В, но не оба
Либо А, либо В
То ли А, то ли В
Исключающе-разделительное суждение истинно, когда одно из его составляющих истинно, а другое ложно, и ложно, когда оба составляющих истинны и когда оба они ложны.
-
А
В
Либо А, либо В
истинно
истинно
ложно
истинно
ложно
истинно
ложно
истинно
истинно
ложно
ложно
ложно
б) Нестрогой дизъюнкцией, альтернативным Неисключающе-разделительные суждения. Неисключающе-разделительным называется суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «или»: А v B.
А или В или оба
А или В
А, если не В
А и\или В
Союзу «или» не придается исключающего смысла. Суждения, соединяемые «или», вполне совместимы. Разделительное суждение ложно тогда, когда ложны оба составляющих его суждения, и истинно во всех остальных случаях. Эту зависимость изобразим в виде таблицы:
-
А
в
А или В
истинно
истинно
истинно
истинно
ложно
истинно
ложно
нстиино
истинно
ложно
ложно
ложно
В этом случае тоже справедливо то, что сказано выше относительно двух предыдущих логических союзов: А и В могут быть любыми суждениями, не обязательно связанными по смыслу.
3. Условным (импликативные) суждением называется суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «если..., то»: А→В
В условном суждении «Если А, то В» составляющая А называется основанием, или антецедентом, а составляющая В — следствием, или консеквентом.
Если А, то В
А, потому что В
А, так как В
Коль скоро А, то В
В случае А имеет место В
В, если А
А влечет В
А является причиной В
А, только если В
В является следствием А
Для В достаточно А
Для А необходимо В
Логический союз «если..., то», как и все вышеописанные логические союзы, может соединять любые суждения и не требует содержательной связи между ними.
Условное суждение ложно тогда, когда его основание истинно, а следствие ложно, и истинно во всех остальных случаях.
-
А
В
Если А, то В
истинно
истинно
истинно
истинно
ложно
ложно
ложно
истинно
истинно
ложно
ложно
истинно
Суждением эквивалентности называется такое суждение, которое получено из любых двух других суждений при помощи логического союза «тогда и только тогда, когда...»: А↔В.
Суждение эквивалентности истинно, когда оба составляющих его суждения истинны или когда оба они ложны, и ложно в прочих случаях.
-
А
В
А тогда и только тогда, когда В
истинно
истинно
истинно
истинно
ложно
ложно
ложно
истинно
ложно _
ложно
ложно
истинно
Таким образом, можно составить общую таблицу истинности для логических союзов:
-
А
В
А&В
АvВ
А¥В
А→В
А↔В
и
и
и
и
л
и
и
и
л
л
и
и
л
л
л
и
л
и
и
и
л
л
л
л
л
л
и
и