Нормаль таралу заңы

Үзіліссіз кездейсоқ шаманың ықтималдылығының таралу тығыздығы мына формуламен

анықталатын болса, онда ол нормаль таралу заңымен таралып тұр деп айтамыз.

Нормаль таралу заңымен таралған үзіліссіз кездейсоқ шама үшін M(x)=a, D(X)=σ² теңдіктері орындалады.

Нормаль таралу заңының тығыздығының графигін нормаль қисық деп атайды. Кейде нормаль қисықты Гаусс қисығы деп те атайды.

Егер X үзіліссіз кездейсоқ шамасы нормаль заңымен таралған болса, оның мүмкін мәндері [α,β] аралығында жатуының ықтималдыдығы

формуласымен есептеледі. Мұнда Лаплас функциясы.

Нормаль таралған үзіліссіз кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің оның математикалық күтімінен ауытқуы δ шамасынан аспауының ықтималдылығы былай есептеледі

Егер δ=3σ болса, онда

яғни кездейсоқ шаманың математикалық күтімнен ауытқуы үш еселенген орта квадраттан аспауының ықтималдылығы 0,9973 болады екен. Мұны үш сигма ережесі деп атайды.

Іс жүзінде нормаль таралған үзіліссіз кездейсоқ шамалар өте жиі кездеседі. Мұны немен түсіндіруге болады? Бұған А.М.Ляпуновтың орталық теоремасы жауап бере алады. Егер X кездейсоқ шамасы өте көп тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысынан құралса, олардың әрқайсысының X кездейсоқ шамасына әсері тым аз болатын болса, онда X кездейсоқ шамасының таралу заңы нормаль таралу заңына өте жақын болады.

Математикалық статистика элементтері

Математикалық статистика зерттейтін мәселелер

Іс жүзінде кездесетін кездейсоқ құбылыстарды зерттеп, ондағы заңдылықтарды анықтау үшін тәжірибеден немесе әртүрлі сынақ нәтиежелерінен алынған статистикалық мәліметтерді талдап, қорытынды жасау керек болады. Математикалық статистиканың айналысатын саласының бірі осы статистикалық мәліметтер қалай жинақталып әртүрлі топтарға қалай бөліну керектігін көрсету деп есептеледі.

Математикалық статистика айналысатын тағы да бір үлкен сала – осы жинақталған статистикалық мәліметтерге талдау жасау және сол талдаулардың көмегі арқылы қорытындылар жасау әдістерін ұсыну болып табылады.

Бас жиын және таңдама жиын

Бізге біртектес объектілердің жиынтығын осы объектілерді сипаттайтын сандық немесе сапалық қасиеттерінің көмегі арқылы зерттеу керек болсын. Мысалы бір детальдар партиясы зерттелетін болса, онда осы детальдардың сандық қасиеттері оның өлшемдері, ал сапалық қасиеті олардың стандарт немесе стандарт еместігі болуы мүмкін.

Кейде қарастырып отырған объектілер жиынындағы элементтерді тұтасымен зерттеуге болады. Бірақ іс жүзінде бұндай зерттеу өте сирек болады. Егер зерттелуге тиіс объектілер саны тым көп болса, онда олардың бәрін тегісінен зерттеп шығу тым көп уақыт алуы мүмкін, сонымен қатар әрбір зерттеу ресурстар қолдануды талап етеді. Кейде объектінің қарастырып отырған қасиетін білу үшін оны бұзуға, сындыруға т.с.с. объекті әрі қарай пайдалануға жарамайтындай қылуға тура келеді. Бұндай жағдайда объектіледің бәрін тұтасымен зерттеуде ешқандай мағына болмайды. Сондықтан көп жағдайда объектілердің біразын ғана тексеріп, солардың қасиеттерін зерттеу арқылы барлық объектілер туралы қорытынды жасайды.

Барлық объектілер жиынынан қасиеттерін зерттеу үшін таңдап алынған жиынды таңдама жиын деп атайды.

Таңдама жиын бөлініп алып отырған жиынды бас жиын деп атайды.

Сонымен біз бас жиынның объектілерінің сипаттамасын білу үшін оның таңдама жиын қылып бөліп алып отырған объектілер жиынын зерттейді екенбіз.

Жиынның көлемі деп сол жиындағы объектілер санын айтамыз. Мысалы бас жиында 1000 элемент бар болса бас жиынның көлемі 1000 болғаны, ал таңдама жиында 100 объект бар болса, таңдама жиынның көлемі 100 болғаны.