Числовые характеристики непрерывных св.

1. Матожидание непрерывной св

М[Х]=

М[х] существует, если сходится абсолютно.

Если все значения СВ принадлежат [a,b], то М[x]=

2. Дисперсия непрерывной св

D[Х]=M[(Х-M[Х])²]=

Если все значения СВ принадлежат [a,b], то D[Х]=

Все свойства матожидания и дисперсии те же , что и для дискретных СВ.

D[Х]=²[Х], - среднеквадратическое отклонение.

Равномерное распределение.

Распределение вероятностей непрерывной СВ называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения , плотность распределения сохраняет постоянное значение

Плотность распределения

Найдем постоянную С.

, .

Плотность распределения

Найдем функцию распределения .

1. При х≤а F(x)= =0;

2. При а<х≤b

F(x)= =

3. При х>b

F(x)= =1.

Ф ункция распределения .

Матожидание равномерного распределения

М [ ]= = .

Дисперсия равномерного распределения

D[ ]= -M[x]²= =

- .

Вероятность попадания св в заданный интервал:

Р (c< <d)=F(d)-F(c)= - =

Показательное распределение (экспоненциальное).

Показательным называется распределение непрерывной СВ , которое описывается плотностью распределения , - параметр распределения.

Найдем функцию распределения F(x).

.

СВ с показательным распределением характеризует время распада радиоактивных элементов, где , Т₀- период полураспада.

Вероятность попадания св в заданный интервал:

Р (а< <b)=F(b)-F(a)=1-e^-λb-(1-e^-λa)=e^-λa-e^-λb

П оказательное распределение характеризует время работы прибора. Пусть Т – непрерывная случайная величина, обозначает время безотказной работы прибора. Тогда P(T<t)- вероятность отказа прибора за время меньшее t.

Тогда вероятность безотказной работы устройства за время

 Время безотказной работы элемента распределено по закону: . Найти вероятность того, что элемент безотказно проработает 100 часов.

• P(t≥100)=e^-0,02·100=e^-2=0,135 

Матожидание и дисперсия показательного распределения

. .

 р(х)=5е^-5х, х≥0. Найти λ, , .

• λ=5, = , = 

Cлучайный поток событий

Рассмотрим поток событий, которые происходят в случайные моменты времени. Интенсивность потока - среднее число событий, которые появляются за единицу времени.

Поток событий называется однородным, если число событий на промежутке времени не зависит от положения промежутка на временной оси, а только от его длины.

Поток событий называется потоком без последствия, если количество событий, которые происходят на непересекающихся отрезках времени, не зависят друг от друга.

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления на элементарном участке двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события.

Поток событий называется простейшим, если он одновременно однородный, без последствия, ординарный.

Tеорема. Пусть – число событий в простейшем потоке интенсивности на промежутке времени длиной . Тогда

 Найти вероятность того, что за время не произойдет ни одного события

• 

Длина интервалов между событиями так же является СВ. Пусть случайная величина удовлетворяет свойствам теоремы и равна интервалу между двумя событиями в простейшем потоке. Найдем ее функцию распределения

.

- вероятность того, что за время не произойдет ни одного события:

.

Следовательно . . Случайная величина имеет показательное распределение.