Краткий курс теории вероятностей

и ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ

Часть 2. Случайные величины Определение случайной величины

На всех предыдущих лекциях, рассматривая случайные события, мы практически ничего не говорили о числах. Попробуем разобраться с понятием случайной величины на пальцах.

Случайной величиной естественно назвать числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произойдет в результате опыта. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называется множеством ее возможных значений. Следовательно, для задания случайной величины необходимо элементарным исходам поставить в соответствие числа.

 Выбрасывание кости

Исходы
Значение СВ	1	2	3	4	5	6

 Бросание дротика в мишень

Значение СВ – расстояние до центра

Случайной величиной называется функция , определенная на пространстве элементарных исходов и принимающая действительные значения .

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Дискретные: число очков на костяшке домино, число бросаний монеты до первого герба, оценка студента на экзамене. Непрерывные: погрешность измерения, время до отказа прибора, время опоздания на лекцию.

Функция распределения СВ.

Для исследования вероятностных свойств СВ необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что СВ примет определенное значение. Такое правило называется законом распределения СВ.

Введем понятие функции распределения СВ. Пусть х – число. СВ принимает значения, которые могут быть больше или меньше этого числа.

Функцией распределения называется функция, равная вероятности того, что СВ примет значение, меньшее х : .

пробегает все значения от до . Геометрически - вероятность того, что случайная величина примет значения, меньшие :

Понятно, что чем больше х, тем больше вероятность .

 Дискретная СВ , принимающая 2 значения:

Значение	0	1
Вероятность

F(-5)=P(X<-5) =0

F(-2)=P(X<-2)=0

F(5)=P(X<5)x=1

Свойства функции распределения

1. , т.к. F(x)=вероятности.

2. - неубывающая функция, т.е. из х1<x2 F(x1)≤F(x2).

Доказательство.

Пусть х2>x1. Событие, состоящее в том, что СВ Х примет значение меньшее х2, можно разделить на два несовместимых события

А1: примет значения < x1 с вероятностью P( <x1);

А2: х1≤ значение < x2 с вероятностью P(x1≤ <x2).

По теореме сложения несовместных событий

P(x<x2)= P(А1+А2)=P(x<x1)+P(x1≤x<x2).

Отсюда P(x<x2)-P(x<x1)=P(x1≤x<x2) и

* F(x2)-F(x1)=P(x1≤x<x2)≥0,

след. - неубывающая функция. 

Следствие.

Вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в интервале равна приращению функции распределения на этом интервале: .

3. P(x<∞)

P(x<-∞)

4. непрерывна слева:

lim F(x)=F(a)

x→a-0