2. Принцип суперпозиции магнитного поля. Закон Био-Савара–Лапласа

2.1. Примеры решения задач

2.1.1. По отрезку прямого провода длиной =80 см течет ток I= 50 А. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого этим током, в точке А равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r₀=30 см от его середины.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет определить магнитную индукцию dB, создаваемую элементом тока Id. Заметим, что направление вектора dB в рассматриваемой точке А определяется правилом правого винта. Принцип суперпозиции магнитных полей позволяет для определения B воспользоваться геометрическим суммированием (интегрированием):

, (1)

где символ  означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме:

,

где dB – магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током I в точке, определяемой радиус-вектором r;

₀ – магнитная постоянная;

 – магнитная проницаемость среды, в которой находится провод. В нашем случае =1.

Примечание. Во всех задачах, где это специально не оговорено, следует считать, что средой является воздух, для которого магнитная проницаемость принимается равной единице.

Заметим, что векторы dB от различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной форме:

где



В скалярном выражении закона Био-Савара-Лапласа угол  – угол между элементом тока Idl и радиусом-вектором r. Таким образом,

. (2)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна переменная – угол . Для этого выразим длину элемента провода d через угол d: d==rd/sin. Тогда подынтегральное выражение sind/r² запишем в виде sinrd/(r²sin)=d/r. Заметим, что переменная r также зависит от , (r==r₀/sin); следовательно, d/r=sind/r₀.

Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде



где ₁, a₂ – пределы интегрирования – углы между направлением тока в проводнике и направлениями на рассматриваемую точку.

Выполним интегрирование:

. (3)

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos₂=-cos₁. С учетом этого формула (3) примет вид

. (4)

Определив cos₁= , подставив его значение в (4), получим

. (5)

Произведя вычисление по формуле (5), найдем B=26,710^-6 Тл.

Направление вектора магнитной индукции B поля, создаваемого прямым током, можно определить по правилу правого винта. Для этого необходимо провести магнитную силовую линии и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор B. Вектор магнитной индукции B направлен перпендикулярно плоскости.

Ответ: B=26,710^-6 Тл=26,7 мкТл.

2.1.2. По тонкому проводящему кольцу радиусом R=10 см течет ток I=80 А. Найти магнитную индукцию B в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстоянии r=20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

,

где dB – магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током I в точке, определяемой радиус-вектором r.

Выделим на кольце элемент d и от него в точку А проведем радиус-вектор r. Вектор dB направим в соответствии с правилом правого винта. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция B в точке А определяется интегрированием:

,

где интегрирование производится по всем элементам кольца d.

Разложим вектор dB на две составляющие dB₁, перпендикулярную плоскости кольца, и dB₂, параллельную плоскости кольца, т.е.

dB=dB₁dB₂.

Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы различных элементов dl сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

где dB₁=dBcos и dB=₀Id/(4r²) (поскольку d перпендикулярен r и, следовательно, sina=1);

 – угол между плоскостью кольца и направлением на рассматриваемую точку А.

Таким образом,

.

После сокращения на 2 и замены cos на R/r получим

.

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

Тл.

Ответ: B=6,310^-5 Тл.

Пример 3. На проволочный виток радиусом r=10 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент М_max=6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2 А. Определить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с током в магнитном поле,

⁽¹⁾

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α=π/2(sin α=l), а также что p_m=IS, то формула (1) примет вид

Отсюда, учитывая, что S=πr², находим

⁽²⁾

Произведя вычисления по формуле (2), найдем

В=104 мкТл.

3. Циркуляция индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля. Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи. Природа магнитных свойств вещества. Магнетики. Диамагнетизм. Диамагнетики и их свойства. Парамагнетизм. Парамагнетики и их свойства. Ферромагнетизм. Ферромагнетики и их свойства. Граничные условия на поверхности