3. Частотные фильтры

В теории цифровой обработки изображений важную роль играют алгоритмы, реализуемые в частотной области. Основным инструментом, обеспечивающим взаимно-однозначное соответствие между пространственным изображением и его образом в частотной области, является преобразование Фурье. Для получения спектральных образов изображений и их последующей обработки в частотной области используются прямое и обратное дискретные преобразования Фурье (ДПФ).

Важная особенность дискретных преобразований заключается в том, что, в отличие от непрерывного случая, здесь нет необходимости заботиться о существовании ДПФ и обратного к нему. Дискретное преобразование Фурье и обратное к нему всегда существуют.

Процедура фильтрации в частотной области состоит из следующих шагов:

1. Исходное изображение умножается на , чтобы его Фурье-преобразование оказалось центрированным.

2. Вычисляется прямое ДПФ изображения, полученного после шага 1.

3. Функция умножается на функцию фильтра .

4. Вычисляется обратное ДПФ от результата шага 3.

5. Вычисляется вещественная часть результата шага 4.

6. Результат шага 5 умножается на .

Назначение фильтра состоит в том, что он подавляет некоторые частоты преобразования, оставляя при этом другие без изменения.

4. Сглаживающий частотный фильтр

Сглаживающие частотные фильтры построены на основе фильтра Баттерворта n-го порядка. Передаточная функция низкочастотного фильтра Баттерворта (БФНЧ) порядка n с частотой среза на расстоянии D₀ от начала координат представлена на рис. 2.17 и задается формулой:

,

где D(u, v) – расстояние от произвольной точки (u, v) ДПФ до центра Фурье –преобразования, задаваемое выражением

.

Рис. 2.17. Радиальные профили фильтров БФНЧ порядка от 1 до 4

В отличие от идеального ФНЧ передаточная функция БФНЧ не имеет разрыва, который устанавливает точную границу между пропускаемыми и обрезаемыми частотами. Фильтр Баттерворда характеризуется параметром, который называется порядком фильтра. При малых значениях этого параметра БФНЧ имеет гладкую форму, похожую на форму гауссова фильтра. При больших значениях БФНЧ приближается по форме к идеальному фильтру.

5. Частотный фильтр повышения резкости

Передаточная функция высокочастотного фильтра Баттерворта (БФВЧ) порядка n с частотой среза на расстоянии D₀ от начала координат задается формулой

,

где D(u, v) – по-прежнему расстояние от произвольной точки (u, v) ДПФ до центра Фурье-преобразования; D₀ – частота среза в Фурье области; n – порядок фильтра. Как и в случае низкочастотных фильтров, высокочастотный фильтр Баттерворта обеспечивает более гладкое поведение по сравнению с ИФВЧ.

7. Гомоморфная фильтрация

Суть гомоморфной фильтрации заключается в нормализации яркостной составляющей при одновременном увеличении контраста. Функция яркости изображения характеризуется двумя компонентами:

• величиной светового потока, который падает на наблюдаемую сцену от источника;

• относительной долей светового потока, отраженного от объектов этой сцены.

Эти компоненты называются освещенностью и коэффициентом отражения и обозначаются и соответственно. Произведение этих функций дает функцию изображения

. (2.7)

Равенство (2.7) не позволяет работать с частотными составляющими освещенности и коэффициента отражения по отдельности, поскольку преобразование Фурье от произведения не равно произведению преобразований сомножителей. Однако, если прологарифмировать выражение (2.7), получим

.

,

.

Выполняя прямое ДПФ над полученным выражением, имеем

,

или

,

где и – Фурье-образы функций и соответственно. Преобразование функции при помощи фильтра в результате дает

,

где - Фурье-образ результата. Выполняя обратное ДПФ, получим результат в пространственной области

.

Возвращаясь к обозначениям, использованным в формуле (2.7), имеем

.

Поскольку функция формировалась в результате логарифмирования исходного изображения , то обратная операция (потенцирование) позволит получить искомое обработанное изображение в соответствии с формулой

.

Использование гомоморфного фильтра предоставляет возможность в значительной степени контролировать и освещенность, и коэффициент отражения. Для этого требуется задавать передаточную функцию так, чтобы фильтр по разному воздействовал на низкочастотные и высокочастотные составляющие Фурье преобразования. На рис. 2.18 показан профиль такого фильтра. D(u, v) – расстояние от произвольной точки (u, v) ДПФ до центра Фурье-преобразования.

Рис. 2.18. Профиль центрально-симметричной передаточной функции фильтра.

Если выбрать параметры и так, что и , то фильтр будет ослаблять вклад, вносимый низкими частотами (освещенностью), и усиливать вклад, вносимый высокими частотами (коэффициентом отражения). Конечный результат заключается в одновременном сжатии динамического диапазона и усилении контраста.