Московский государственный

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

( МИИТ)

Кафедра «Прикладная математика –1»

Ю.П. ВЛАСОВ, В.П. ПОСВЯНСКИЙ

ПОГРЕШНОСТИ. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

Методические указания

к практическим занятиям

по дисциплине

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

Москва - 2009

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

( МИИТ)

Кафедра «Прикладная математика –1»

Ю.П. ВЛАСОВ, В.П. ПОСВЯНСКИЙ

ПОГРЕШНОСТИ. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

Рекомендовано редакционно–издательским советом

университета в качестве методических указаний

для студентов специальности

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Москва - 2009

УДК 519.6:512.64

В-58

Власов Ю.П., Посвянский В.П. Погрешности. Аппроксимация функции. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Численные методы». -М.: МИИТ, 2009. -47 с.

Методические указания к практическим занятиям посвящены решению таких задач дисциплины «Численные методы», как определение погрешностей вычисления, интерполяция, равномерное и среднеквадратическое приближение функций.

Они содержат четыре различных задания, по одному для каждого из указанных разделов. Студент выполняет по одному варианту из каждого задания по указанию пре­подавателя, Все задания носят учебно-исследовательский характер.

Указания согласованы с программой дисциплины «Численные методы», кото­рая изучается студентами второго и третьего курса специальности «Приклад­ная математика». Отдельные разделы данных указаний могут быть использованы в курсе «Математика» для других специальностей университета.

Московский государственный

университет путей сообщения

(МИИТ), 2009

1. Погрешности.

   1. .Введение

Пусть X -точное значение переменной величины Х, а

х- её приближенное значение.

Определение 1. Абсолютной погрешностью величины Х называется разность между её точным и приближенным значением.

Абсолютная погрешность обозначается :

-Х

Определение 2. Относительной погрешностью величины Х называется, отношение её абсолютной погрешности к приближенному значению величины Х.

.

Определение 3. Предельной абсолютной погрешностью, величены Х называется, нижняя граница максимального модуля её абсолютной погрешности.

Предельная абсолютная погрешность обозначается :

.

Определение 4. Предельной относительной погрешностью величины Х называется отношение предельной абсолютной погрешности к модулю приближенного значения величены Х. Предельная относительная погрешность обозначается :

.

В дальнейшем слово “предельная” опускается.

По своему происхождению погрешности делятся на неустранимые, погрешности метода и вычислительные.

Неустранимая погрешность- это погрешность результата, получающаяся из-за того, что имеются погрешности исходных данных.

Если вычисляются значение функции многих переменных , то неустранимую абсолютную погрешность можно оценить по формуле:

,

где , .

Погрешность метода возникает при замене решения данной задачи близким в некотором смысле решением другой задачи.

Вычислительная погрешность- это погрешность, возникающая при округлении, равная половине от единицы последнего оставляемого разряда.

Так, если число

,

где - основание системы исчисления, требуется округлить до m цифр, отбросив остальные, то после округления число Х будет задано с абсолютной погрешностью

.

Цифра называется верно, значащей, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины от единицы разряда, в котором стоит это число, то есть .

Полная абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей: вычислительной, метода и неустранимой.