7.1.2.5. Хаос у моделі міжнародної економіки

Міжнародна торгівля між економіками, в яких мають місце гра­нич­ні цикли, може привести до появи дивного атрактора і, отже, до ви­ник­нення хаосу. Міжнародну торгівлю в певному сенсі можна роз­гля­дати як збурення ізольованих економік. Лоренцем (1987) було запро­по­новано наступну модель.

Розглянемо три економіки (національні, регіональні або міські), кожна з яких описується спрощеними детермінованими рівняннями Кейнса:

(3.89)

де індекс позначає номер економіки, а інші змінні визначені так:

– прибуток;

– відсоткова ставка;

– функція попиту на гроші;

– постійна номінальна грошова пропозиція;

– фіксовані ціни товарів;

– функція попиту на інвестиції ;

– функція заощаджень ;

– невід’ємні параметри встановлення.

Множина точок утворює -криву -ї економіки; множина точок утворює -криву -ї економіки.

Рівняння (3.89) є системою диференційних рівнянь шостого поряд­ку, яка може бути записана як об’єднання трьох незалежних дво­ви­мір­них систем, що мають граничні цикли (за відповідних умов). Якщо всі три економіки є такими, що осцилюють, загальний рух системи (3.89) складається з руху тривимірним тором , який перебуває у про­сторі .

Введення в ізольовані системи фактора міжнародної торгівлі (екс­пор­ту й імпорту) за допомогою функцій

, ,

приводить до рівнянь

(3.90)

де – фіксована пропозиція грошей в -й економіці, що відображає баланс платіжних рівноваг.

Розширена система (3.90) складається з трьох зв’язаних обмежених осциляторів. Як показано Ньюхаусом, Рюелем і Такенсом (1978), збу­рення руху по тривимірному тору може призвести до дивного атрак­тора.

Очевидно, що існування дивного атрактора має на увазі хаотич­ність траєкторій. Неважко встановити, що система (3.90) задовольняє умовам теореми Ньюхауса–Рюеля–Такенса. Отже, ми встановили іс­ну­вання дивних атракторов у моделі міжнародної торгівлі.

Твердження. Якщо всі три автономні економіки належать до осци­ля­торного типу, введення міжнародної торгівлі може спричинити поя­ву дивного атрактора в об’єднаній економіці.

Лоренц показав, що існування хаотичних траєкторій у відповідних моделях можна встановити чисельним моделюванням.

7.1.2.6. Хаос і економічне прогнозування

Велика потужність науки визначається здатністю прогнозувати майбутнє. Ця здатність використовує знання про причинні зв’язки між складовими елементами досліджуваних явищ. Історично найваж­ли­ві­ші ідеї про можливості наукових прогнозів сформулювали Лаплас і Пуанкаре. Їхні погляди здійснили значний вплив на розуміння про­це­су економічної еволюції.

Французький математик Лаплас вважав, що закони природи міс­тять строгий детермінізм та цілковиту передбачуваність. Лише недос­коналість методів спостережень викликає потребу в теорії ймовір­но­сті. За Лапласом, «поточний стан систем у природі є очевидним на­слідком станів у попередні моменти, і якщо ми зможемо осягнути всю інформацію, яка в даній точці відображає всі зв’язки всього сущого у Всесвіті, то стане можливим встановлення відносних станів, швид­ко­с­тей та взаємного впливу кожного складового елемента в будь-який теперішній та майбутній момент часу... Простота законів руху небес­них тіл і співвідношень між їхніми масами та відстанями дозволяє про­стежити їхній рух до будь-якої заданої точки; для того щоб ви­зна­чити стан системи цих макрооб’єктів у минулих чи майбутніх сто­літтях, для математика достатньо, щоб їхні стани і швидкості були задані в будь-який довільний момент часу. Це можливо завдяки точ­ним інструментам, які застосовуються в астрономічних спостере­жен­нях, та невеликій кількості співвідношень, використовуваних у роз­ра­хунках. Але при дослідженні величезної більшості інших явищ при­ро­ди неповне знання причин, що викликають явище, нехтування їхньою складністю, разом з похибками аналізу, не дозволяють нам досягати такої ж визначеності. Отже, існують явища, для нас невизначені, яви­ща, більш-менш вірогідні, і ми шукаємо шляхи компенсації браку на­ших знань, вводячи різні ступені ймовірності цих явищ. А отже, одна з найбільш тонких математичних теорій – наука про можливості та ймо­вірність – зобов’язана своїм існуванням слабкості людського розуму».

Пуанкаре показав, що довільні незначні невизначеності стану сис­те­ми з часом можуть посилюватися, роблячи, таким чином, немож­ли­вим прогнозування віддаленого майбутнього. За Пуанкаре, «дуже не­значна причина, яка вислизає від спостереження, може визначати знач­ний ефект, який не побачити неможливо, і тоді ми говоримо, що ефект є випадковим. Якщо нам точно відомі закони природи і поло­ження в просторі в початковий момент, ми можемо точно передбачити ситуацію в просторі в наступний момент. Але навіть якщо закони при­роди не є для нас більше таємницею, початкову ситуацію ми можемо знати лише приблизно. Якщо це знання дозволяє нам прогнозувати ситуацію з тим же ступенем наближення – це все, що нам потрібно, і ми можемо сказати, що явище нами передбачене, що воно укладається в закони. Але це не завжди так. Може статися, що незначні розбіж­ності в початкових умовах спричинять великі відхилення наприкінці, незначні помилки на старті призведуть до величезних помилок у фіналі. Прогнозування стає неможливим, і от перед нами випадковий процес».

У поглядах на прогнозування ми слідуємо Пуанкаре. Хоча цілком спрогнозувати динаміку системи неможливо, це не означає, що нам нема чого сказати про майбутнє довільної системи в довільний період часу. Наша здатність до прогнозування залежить від того, яке явище ми вивчаємо: наприклад, на основі законів гравітації можна з успіхом передбачати затемнення Сонця чи Місяця на тисячі років наперед. Проте надійні прогнози погоди нині абсолютно неможливі, хоча рух атмосфери підлягає законам фізики в тому ж ступені, що й рух планет. Що ж робить рух одних систем більш передбачуваним, ніж інших?

Як і в питаннях прогнозування погоди, широкий загал дотри­му­єть­ся невисокої думки про економічне прогнозування. Наука про про­гно­зування погоди та економічне прогнозування намагається перед­ба­чити результат розвитку дуже великих систем, компоненти яких дуже складно взаємодіють між собою. Ізолюючі та спрощуючі методи, які відіграють головну роль у розвитку науки, для аналізу таких систем ма­лопридатні. Більше того, оскільки такі великі взаємодіючі системи часто є нестабільними, спрогнозувати їхню поведінку для великих ча­сових періодів практично неможливо.

Для того щоб проілюструвати труднощі, які виникають при про­гно­зуванні структурних змін в економіці, розглянемо цікаве питання, знову порушене недавно Домінгосом, Фейром і Шапіро (1988): чи мо­жна було заздалегідь передбачити Велику депресію? Вони показали, що ні сучасні аналітики, ні новітній апарат аналізу часових рядів не здатні дати прогноз обвального падіння виробництва, викликаного Великим крахом. Їхній висновок ґрунтується і на аналізі прогнозів Гар­варда і Йеля, і на застосуванні сучасних методах часових рядів, ви­користаних на даних Гарварда та Йеля і на новітніх історичних даних.

У 1920 р. у Сполучених Штатах служби прогнозування в Гарварді та Йелі були, мабуть, двома найбільш компетентними службами еко­номічного прогнозування, яких мали у своєму розпорядженні бізнес і держава. У 20-х рр. ХХ ст. Економічна служба Гарварда (ЕСГ) вида­вала щомісячні огляди поточного і передбачуваного стану економіки. Для прогнозування ЕСГ використовувала три індекси, що представ­ле­ні теоретичним прогнозом (крива ), бізнесом (крива ) і грошима (крива ). Отже, прогнози Гарварда були засновані на співвідно­шен­нях, визначуваних із цих трьох кривих протягом кожної конкретної фази ділового циклу, на амплітуді циклу від піку до западини на кож­ній кривій. Підсумкові індекси показано на рис. 3.34 і 3.35 для періо­дів 1903–1914 рр. і 1919–1931 рр. відповідно. Всі ці три індекси вияв­ляли швидше запізнювання, ніж передбачення подій (економічного краху зокрема).

Як пояснили Домінгос, Фейр і Шапіро (1988), служби Гарварда і Йеля не тільки не передбачали падіння виробництва до Краху, але на­віть не давали якихось песимістичних прогнозів для економіки відразу після Краху. Для вивчення питання про передбачуваність Депресії названі автори оцінювали набір векторних авторегресійних моделей, використовуючи дані служби Гарварда, дані Фішера та історичні ар­хівні дані. Результати оцінки показали, що великі спади доходів на початковій стадії Депресії ніяк не були передбачені ні за місяць до Краху, ні тоді, коли звістка про Крах стала фактом. Депресія вияви­лася недоступною для прогнозування з використанням методів часо­вих рядів. Отже, можна виправдати і служби Гарварда та Йеля, і фа­хівців з економетрики, озброєних сучасними методами часових рядів і сучасними даними, за їхні оптимістичні економічні прогнози як напе­редодні Краху, так і через місяць після його початку. Оскільки основні пояснення Депресії були засновані на припущеннях структурної стій­кості та лінійності, виявилося неможливим з’ясувати причину таких структурних змін. Синергетична ж економіка дозволяє побудувати плі­д­ну теорію для пояснення причин, що викликали Депресію.

Рис. 3.34. Індекси ЕСГ, 1903–1904 рр.

Рис 3.35. Індекси ЕСГ, 1919–1931 рр.