7.1.2.3. Аперіодичне оптимальне економічне зростання

Якщо виконані певні умови, то в стандартній моделі оптимального зростання можуть виникнути граничні цикли. Нижче показано, що в таких моделях може проявитися складніша поведінка, ніж регулярно-періодична. Коли рівновага втрачає свою стійкість через те, що дві пари комплексно зв’язаних власних значень лінеаризованої системи од­ночасно перетинають уявну вісь, у системі можуть виникати нере­гу­лярні коливання.

Ми вивчаємо економічні системи, що складаються з трьох частин: двох виробничих і однієї споживчої. Розглянемо таку задачу опти­маль­ного зростання:

   (3.75)

відносно

, ,    (3.74)

де – час; – випуск продукції на душу населення; – запаси ма­те­рі­ального капіталу на душу населення; – функція спо­жи­ван­ня; – корисність, отримана від споживання; – норма відсотка прибутку; – швидкість приросту населення.

Припущення Бенхабіба і Нішімури для доведення існування біфур­кації Хопфа (дозволяють записати систему в локальному вигляді):

(А1)  Уся продукція виробляється неодночасно, причому вироб­ни­ча функція є лінійно однорідною, строго квазівогнутою при від’ємних значеннях факторів і двічі диференційовною – при невід’ємних.

(А2)  Якщо через позначено множину факторів, що визна­ча­ють виробництво -го товару, то -й товар не може бути вироблений без . Застосування принципу максимуму до задачі (3.75)–(3.76) веде до системи рівнянь

де і – ціна і величина орендної плати для -го товару в термінах цін споживчих товарів. Для , де задано і може бути не­скін­­ченно великим (невід’ємним), ці величини визначені однозначно. Задача має єдину рівновагу.

(А3)  У точці рівноваги матриця коефіцієнтів капіталу є нероз­клад­ною.

(А4)  У стані рівноваги для виробництва споживчого товару необ­хідні капіталовкладення хоча б за однією компонентою та безпо­се­ред­нє застосування праці.

(А5)  В околі рівноваги гранична корисність від споживання є по­стій­ною, тобто і .

(А6) В околі рівноваги матриця вхідних даних є невиродженою.

Хай (А1–А6) виконані. Тоді систему можна записати у вигляді

   (3.77)

Щоб гарантувати існування аперіодичних коливань, зробимо нас­тупне припущення. Хай система (3.77) має дві пари простих, комп­лексно зв’язаних власних значень, позначених, відповідно, як і :

   (3.78)

де і – дійсні числа. Передбачається, що існує таке значення , що

(3.79)

Тут вимагається, щоб було достатньо малий. Це означає, що якобіан має дві пари суто уявних власних значень, які при проход­женні через критичне значення одночасно втрачають стійкість. З прикладів, наведених у Бенхабіба і Нішімури (1979), ми бачимо, що це припущення є цілком прийнятним.

Хай і приймаємо скрізь замість . З (3.79) ви­пли­ває, що дійсні частини власних значень завжди мають однаковий знак. Якщо змінюється так, що і змінюють значення з від’ємних на невід’ємні, то стійкість втрачається. За теорією біфур­ка­цій, у цей момент від відгалуження можуть зародитися нові (можливо, досить складні) розв’язки, залежні від часу. Щойно пе­ре­тинає границю області стійкості та нестійкості , лінійна теорія стійкості передбачає втрату стійкості стаціонарного стану – через екс­по­ненційну залежність функції від часу . Така експоненційно зрос­таю­ча функція не може описувати реальний розв’язок системи на великих часових періодах, оскільки з часом усе істотнішими стають нелінійні члени. Саме тому при вивченні нестійких динамічних сис­тем ми повинні брати до уваги нелінійності.

Введемо параметр розкладання амплітуди:

   (3.80)

Занг (1989) довів наступну теорему.

Теорема 3.1. Хай задача оптимізації задовольняє (3.75)–(3.80). Якщо , , , всі порядка за , то

	(3.81)

де і – постійні чотиривимірні вектори і

(3.82)

а , , і є скалярними функціями, які ви­зна­ча­ються зі співвідношення:

   (3.83)

Тут . Величини , , , , визначені в Занга (1989).

Наближення (3.81) справедливе для періодів часу порядку . Стійкість розв’язку визначається асимптотичною пове­дін­кою функцій і при . Якщо вони наближаються до постійного значення або осцилюють, то розв’язок біфуркації є стій­ким. Обчислення параметрів теореми просте, але марудне.

Теорема стосується можливих нерегулярних коливань, що розга­лу­жуються від стану рівноваги. Цілком протилежно випадку біфуркації Хопфа, при двох простих комплексних власних значень залежний від часу розв’язок не обов’язково буде періодичним. Суперпозиція гар­мо­нік і , у випадку, якщо і несумірні, не є періодичною функ­цією. Точно передбачити поведінку такої системи майже неможливо. Поведінку за несумірних і представлено на рис. 3.30.

Різниця між дійсною нормою основного капіталу на душу насе­лен­ня і його рівноважним значенням складається з двох частин, які мають асвигляд: і . Отже, якщо і сумірні, спостерігаємо регулярний періодичний рух, хоча упродовж кожного періоду поведінка видається нере­гу­ляр­ною.

Ц ікаво досліджувати поведінку інших змінних системи. Якщо умо­ви теореми виконані, виробництво і споживання осцилюють, хоча їхній рух здійснюється в області відповідних рівноважних значень. Поглянемо на динаміку накопичення капіталу . Якщо , де – первинна чисельність населення, то фонд капіталу зростає осциляторно, як показано на рис. 3.31. На дуже великих періодах часу основний капітал може значно відхилитися від рівноважного значення.

Рис. 3.30. Нерегулярні коливання цін

З наведеного вище випливає, що в околі рівноваги змінні демон­струють «випадкове блукання». Цей рух може бути періодичним або аперіодичним залежно від заданих початкових умов.

Рис. 3.31. Зростання капіталу може значно відхилятися від рівноваги