7.1.2.2. Економічний хаос у дискретній системі

Деякі дуже прості рівняння можуть описувати досить складну ди­намічну поведінку. Розглянемо одновимірне дискретне відобра­ження:

Добре відомо, що хаос може виникнути, навіть якщо дискретне відображення має дуже простий вигляд.

Модель, яку ми обговоримо нижче, запропонована Штутцером (1980). Але спочатку розглянемо макроекономічну модель зростання, запропоновану Хаавельмо (1954).

(3.70)

де – чисельність населення, – реальний обсяг виробництва, а і – константи. Підстановка другого рівняння в перше при­водить до

   (3.71)

Стає очевидним, що закон зростання є узагальненням аналогічної логістичної форми, яка широко використовується в теорії біологічних популяцій та економічному аналізі. Динаміка цієї системи дуже проста. Якщо початковою умовою є , тоді і , і монотонно зменшуються (збільшуються) доти, доки не досягнуть своїх відносних єдиних рівноважних значень.

Якщо ввести дискретний час і замінити похідні за часом першими різницями, то (3.71) можна переписати у вигляді

а потім привести цей вираз до вигляду

   (3.72)

де нова змінна визначається заміною

Проаналізуємо динаміку (3.72). Перш ніж приступити до аналізу, визначимо декілька основних положень, що стосуються різницевих рівнянь першого порядку , де безперервно і  – замкнутий обмежений інтервал на дійсній прямій. Позначимо че­рез -кратну ітерацію , причому показує то­тож­не відображення.

Визначення. ( – періодична точка.) Точка називається не­ви­родженою [виродженою] періодичною точкою з періодом , або -періодичною точкою, в тому і лише тому випадку, якщо і для всіх [деяких] Точка називається пе­ріодичною, якщо для деякого вона є -періодичною. Одно­пе­ріодична (1-періодична) точка називається стаціонарним станом, або рівновагою, або нерухомою точкою .

Визначення. (Цикл, період.) Якщо є -періодичною точкою, то кожна точка в послідовності також -періо­дич­на, а сама послідовність називається періодичною орбітою, або цик­лом точки Якщо – невироджена, то всі точки періодичної орбіти різні, і кажуть, що орбіта має довжину або період .

Розглянемо, наприклад, найпростіше різницеве рівняння

розв’язком якого є , що росте експоненційно при . Якщо , система наближається до стаціонарного стану. В цьому ви­падку при існує 2-цикл, який виникає тільки для одного цього значення параметра.

Визначення. (Асимптотична періодичність.) Точка є асимпто­тич­но періодичною, якщо існує періодична точка , для якої

Визначення. (Локальна стійкість.) Кажуть, що -періодична точка і відповідна їй періодична орбіта локально асимптотично стійка, якщо в кожній точці якогось відкритого інтервалу , що містить , виконується умова

Визначення. (Хаотична динаміка.) Термін «хаотична динаміка» сто­сується динамічної поведінки певних рівнянь , які мають:

а) невироджену -періодичну точку для кожного ;

б) незчисленну множину , що не містить періодичних і асимп­тотичних періодичних точок. Траєкторії таких точок блукають в «випадково».

Для ілюстрації вищевикладеного візьмемо і введемо в (3.72) для простоти . У цьому випадку відображає у себе. Слід зауважити, що якісні властивості ніяк не залежать від вибору конкретного значення . А отже, модель записується у такому вигляді:

   (3.73)

Геометрію для різних значень ( і ) по­ка­зано на рис. 3.26.

Для кожного значення точки рівноваги задаються перетином графіка з прямою лінією під кутом 45°, як на рис. 3.26. Для кожної величини є два стани рівноваги: і . Точка нестійка і відштовхує сусідні точки. Локальна стійкість інших точок може бути визначена шляхом лінеаризації відображення в точці рівноваги.

Маємо

   (3.74)

Локальну стійкість визначає власне значення . Якщо , сусідні точки притягуються до експоненційно і моно­тон­но. Якщо , збіжність до має вигляд затухаючих коли­вань. Коли , стан ні стійкий, ні нестійкий (у випадку загального стану втрата стійкості рівноваги за сценарієм народження стійкої 2-орбіти відповідає стійкості примежового випадку). І нарешті, якщо , то є нестійким. Ці типи поведінки мають місце від­по­відно у випадках , , і , як пред­став­ле­но на рис. 3.26.

Рис. 3.26. Рівновага і стійкість

Коли рівновага стійка, тобто , вона досягається будь-якою траєкторією, що починається з довільної точки. Застосування в цій об­ласті традиційного порівняльного статичного аналізу показує, що для достатньо великих зюільшення параметра веде до збільшення . Якщо , траєкторії не входять у рівновагу, а залишаються в області, ощо бмежена нулем і одиницею. Фактично, як тільки пара­метр перевищує 4, нестійка точка рівноваги розпадається на дві стій­кі точки з періодом 2, тобто на стійкі періодичні орбіти довжи­ни 2. Для на рис. 3.27 показано дві невироджені нерухомі точ­ки відображення , позначені як і відповідно.

Як показано Штутцером, 2-періодичний цикл стає нестійким для значень , що перевищують 4.8, і кожна 2-періодична точка роз­падається на дві 4-періодичні точки, які відповідають стійкому циклу довжини 4, позначеному як . Рис. 3.27 і 3.28 демон­стру­ють цей феномен.

Рис. 3.27. Біфуркація у 2-періодичну орбіту

При збільшенні параметра процес біфуркації подвоєння продов­жується, генеруючи невироджені орбіти довжини . Такі ор­біти називаються гармоніками 2-періодичної орбіти. Можна пока­зати, що всі гармоніки виникають раніше, ніж параметр досягає значення 5.54, хоча його точне порогове значення невідоме. Отже, область зміни , всередині якої спочатку зароджуються стійкі орбіти довжини , які потім стають нестійкими і розпадаються на -періо­дичні орбіти, при досягненні параметром граничного значення , стискається.

Інтервал називається областю хаосу. При досягненні цією області значень параметра можуть виникнути дивні явища. Наприклад, поблизу значень існують 3-періодичні орбіти. Від них стартує утворення -періодичних орбіт описаним вище способом. Насправді, якщо ми можемо локалізувати 3-періодичну орбіту, відома теорема Лі та Йорке (1975) стверджує, що в цьому випадку для будь-якого повинні існувати також невироджені точки всіх періодів і незчисленна множина періодичних (не асимп­то­тично періодичних!) точок, траєкторії яких випадковим чином блу­кають в області .

Рис. 3.28. 4-періодична орбіта для .

Теорема (Лі та Йорке). Хай – інтервал, і відображення безперервне. Передбачимо, що існує точка , для якої точки , і задовольняють співвідношенням (або ).

Тоді:

1. для кожного в існує періодична точка періоду ;

2. існує незчисленна множина (що не містить періодичних точок), яка задовольняє наступним умовам:

а) для довільних попарно неоднакових

і

;

б) для кожної точки і періодичної точки

.

При певному значенні наша динамічна економічна система за­довольняє вимогам теореми. Приклад хаотичної поведінки наведено на рис. 3.29.

Підсумовуючи сказане, робимо висновок, що якщо величина , яка незалежно змінюється, перевищує певне значення, збіжність до рів­новаги перестає бути монотонною і виникає збіжність осциля­тор­ного типу. Якщо збільшувати далі, можна знайти таке значення, за якого система генерує цикл довільного періоду . Існує також незчис­ленна множина початкових умов, за яких випущені траєкторії флук­тують в обмеженій області аперіодично і непередбачувано, реалізо­вуючи якийсь стохастичний (хаотичний) процес.

Рис. 3.29. Хаос ,

Відносно малі зміни структурних параметрів можуть призвести до великих, якісних змін поведінки системи. Крім того, на характер ево­люції нелінійної системи низького порядку можуть сильно впливати початкові умови. При конструюванні моделей ця залежність часто випадає з поля зору. Можна підсумувати, що якісні зміни структурних параметрів і початкових умов, разом з можливими похибками вимірів цих параметрів, змушують сумніватися в можливості прогнозування поведінки нелінійних систем і управління ними. А отже, навіть якщо модель побудована точно, на практиці прогнозування і управління мо­жуть виявитися неможливими внаслідок неусувних помилок вимірів.

Цей приклад показує, що траєкторія простого нелінійного детер­мі­нованого різницевого рівняння першого порядку може бути схильною до хаотичних флуктуацій, які виглядають випадковими і помилково мо­жуть бути пояснені впливом неврахованих змінних, або врахо­ва­них, але таких, що вважаються випадковими. У детермінованих ліній­них різницевих рівняннях такі явища не спостерігаються – хаос пород­жується саме нелінійністю. Цей висновок означає також, що в кон­текс­ті моделей макроекономічних явищ, заснованих на лінійних різни­цевих рівняннях, введення в структурні рівняння правдоподібних, тео­ретично виправданих нелінійностей може пояснити економічні флук­туації так само успішно або ще успішніше, ніж введення випадкових змінних.

Дискретна версія оригінальної моделі Хаавельмо має абсолютно інші якісні властивості. Система більше не проявляє безумовної моно­тонної збіжності до рівноваги. Це означає, що дискретний аналог без­перервної системи не може бути надійно забезпечений простою замі­ною похідних першими різницями. Навпаки, відсутність визначеності в тому, як представити реальну систему в дискретному вигляді, при­зво­дить до зростання фундаментального значення того факту, що ви­бір інтервалу часу може значно впливати на якісні властивості моделі.