7.1.1. Динамічний хаос

Де пролягає межа між регулярною, але складно організованою струк­турою (тобто порядком) і безладом? Часто під безладом розу­мі­ють прояв системою якісно нового режиму – хаосу. Критерієм появи такого режиму може служити стійкість утворень, що виникають у сис­темі, до малих збурень. Якщо така стійкість відсутня, детермі­но­ва­ний опис втрачає сенс, і необхідно застосовувати статистичні методи.

Проте, як показали численні дослідження, статистичні закони, а ра­зом з ними й статистичний опис, належать не лише до дуже складних систем з великим числом ступенів вільності. Справа тут не в склад­ності досліджуваної системи і не в зовнішніх «шумах», а в появі при деяких значеннях параметрів експоненційної нестійкості руху.

Вперше ця концепція отримала строге обґрунтування на простій моделі статистичної механіки – більярді. Добре відомо, що до таких систем зводиться ряд задач статистичної фізики. По суті, матема­тич­ним плоским більярдом є звичайний більярд, лише з довільною кон­фігурацією столу і без луз. Виявляється, що залежно від форми межі навіть суто детермінована система з двох куль (!) може мати влас­ти­вість хаотичності.

Які ж закони управляють хаосом? Чи можливо створити мате­ма­тичний апарат, що дозволяє несуперечливо описувати хаотичну дина­міку і передбачати виникнення хаосу в тих чи інших системах? І нарешті, чи можна знайти методи прогнозування поведінки хаотичних систем? Відповідями на ці та низку інших запитань займається так звана теорія динамічного (або детермінованого) хаосу, що є одним з розділів нелінійної динаміки. На сьогодні розроблено методи класи­фікації різних типів хаосу, знайдено закономірності його розвитку, створено техніку, що дозволяє відрізнити (наприклад, в експерименті) хаос від «білого шуму», і т. ін. Більше того, було виявлено і строго обґрунтовано, що складна просторово-часова поведінка розподілених середовищ із величезним числом ступенів вільності може бути адек­ватно описана нелінійними системами невеликої розмірності.

Як відомо, математичним образом усталених періодичних коли­вань є граничний цикл. Простим прикладом тут може служити зви­чайний годинниковий маятник.

Цикли можуть бути стійкими і нестійкими. Стійкі цикли є при­кла­дами атракторів, оскільки вони «притягують» усі близькі траєкторії. Фізично це означає, що при відхиленні від таких коливань система через певний час знову повертається до них. Коливання маятника – стійкий цикл.

Якщо ж система проявляє хаотичні властивості, це свідчить про наявність в її фазовому просторі складнішого за цикл утворення – дивного (інколи кажуть: хаотичного) атрактора. Дивний атрактор – це множина дуже складної геометрії, до якої притягуються траєкторії, що проходять поблизу від нього. Це поняття вперше було введено у відомій праці Д. Рюеля і Ф. Такенса «Про природу турбулентності» в 1971 р.

Дослідження нелінійних динамічних процесів у математиці та фізи­ці показали, що хаотична поведінка в системах з невеликим числом ступенів вільності досить типова. Отже, проблема прогнозування ста­ла загальною для багатьох напрямів сучасної науки. У зв’язку з цим останнім часом почав інтенсивно розвиватися новий напрям у нелі­ній­ній динаміці та синергетиці, присвячений проблемам прогнозування поведінки хаотичних систем, управління їхньою динамікою і можли­вості придушення хаосу. На цьому шляху вдається знайти підходи до таких застосувань, як обробка інформації, потайний зв’язок (тобто пересилання зашифрованих повідомлень), стабілізація неврегульо­ва­них скорочень сердечного м’яза і дефібриляція, прогноз динаміки фі­нансових ринків та ін.