5.3.5. Математичні моделі «перебудови» в срср

Найпростіші та найзагальніші математичні моделі аж ніяк не «лі­нійного» періоду в історії СРСР приводять до висновків, які можуть видатися несподіваними для управлінців, звиклих мати справу з лі­ній­ними системами, де результати пропорційні зусиллям.

Розглянемо нелінійну систему, що перебуває у сталому стійкому ста­ні, визнаному поганим, оскільки є очевидним кращий, детально ви­значений стійкий стан системи, якому віддається перевага (рис. 3.24).

Рис. 3.24. «Перебудова» з точки зору перебудов

Ось кілька простих висновків:

1.  Поступовий рух у бік кращого стану спочатку призводить до погіршення. Швидкість погіршення при рівномірному русі до цього стану зростає.

2.  У міру руху від гіршого стану до кращого опір системи зміні її стану зростає.

3.  Максимум опору досягається раніше, ніж найгірший стан, який треба подолати для досягнення кращого стану. Після проходження максимуму опору стан продовжує погіршуватися.

4.  З наближенням до найгіршого стану на шляху перебудови опір з якогось певного моменту починає зменшуватися і, щойно найгірший стан пройдено, повністю зникає, а система починає притягатися до кращого стану.

5.  Величина погіршення, необхідного для переходу в кращий стан, порівнянна з фінальним поліпшенням і зростає в міру вдосконалення системи. Слабо розвинена система може перейти до кращого стану майже без попереднього погіршення, тоді як розвинена система, через свою стійкість, на таке поступове, безперервне поліпшення не здатна.

6.  Якщо систему вдасться відразу, стрибком, а не безперервно, пе­ревести з поганого сталого стану досить близько до гарного, то далі вона буде самостійно еволюціонувати у бік гарного стану.

Цих об’єктивних законів функціонування нелінійних систем не можна не враховувати. Вище сформульовано лише прості якісні ви­сновки. Теорія надає також кількісні моделі, але якісні висновки ви­даються важливішими і водночас більш надійними: вони мало зале­жать від деталей функціонування системи, принципи функціонування якої та чисельні параметри можуть бути недостатньо відомими.

Наполеон критикував Лапласа за «спробу ввести в управління дух нескінченно малих». Математична теорія перебудов – це та частина сучасного аналізу нескінченно малих, без якої свідоме управління склад­ними і маловідомими нелінійними системами практично не можливе.

Теорія м’якого моделювання – це мистецтво отримувати відносно надійні висновки з аналізу малонадійних моделей. Нижче наведено ще одну модель, яка пояснює досить несподівані спостережені закони.

5.3.6. Математика і математична освіта у сучасному світі

«No star wars – no mathematics» (Нема зіркових воєн – немає мате­матики), – кажуть американці. Той сумний факт, що з (тимчасовим?) припиненням військового протистояння математика, як і всі фунда­ментальні науки, перестала фінансуватися, є ганьбою для сучасної ци­вілізації, яка визнає тільки «прикладні» науки і поведінка якої нагадує поведінку свині під дубом.

Насправді жодних прикладних наук не існує і ніколи не існувало, як це зазначив понад сто років тому Луї Пастер (якого важко за­пі­дозрити в заняттях, не потрібних людству). За Пастером, існують ли­ше «науки і додатки наук, звязані між собою, як плід і дерево, що його породило».

Досліди з бурштином і котячим хутром здавалися марними пра­вителям та військовим XVIII ст. Але саме вони змінили наш світ після того, як Фарадей і Максвелл вивели рівняння теорії електро­магне­тизму. Ці досягнення фундаментальної науки окупили всі витрати людства на неї на сотні років наперед. Відмова сучасних правителів платити за цим рахунком – надзвичайно недалекоглядна політика, за яку відповідні країни, поза сумнівом, будуть покарані технологічною і, отже, економічною (а також і військовою) відсталістю.

Людство в цілому (перед яким стоїть важке завдання вижити в умовах мальтузіанської кризи) змушене буде заплатити важку ціну за короткозоро-егоїстичну політику складаючих його країн.

Математична спільнота несе свою частку відповідальності за той посюдний тиск з боку урядів і суспільства в цілому, який спрямований на знищення математичної культури як частини культурного багажу кожної людини, і особливо – на знищення математичної освіти.

Вихолощене і формалізоване викладання математики на всіх рівнях стало, на жаль, системою. Виросли цілі покоління професійних мате­матиків і викладачів математики, які вміють тільки це і не уявляють якогось іншого викладання цієї дисципліни.

Вже Пуанкаре відзначав, що є тільки два способи вивчити дроби – розрізати (хоча б подумки) пиріг чи яблуко. При будь-якому іншому способі навчання (аксіоматичному або алгебраїчному) школярі вважа­ють за краще «складати» чисельники з чисельниками, а знаменники – зі знаменниками.

Математика є експериментальною наукою – частиною теоретичної фізики і членом родини природничих наук. Основні принципи побу­дови та викладання всіх цих наук можна застосувати й до математики. Мистецтво строгого логічного мислення і можливість отримувати цим методом надійні висновки не повинно залишатися привілеєм Шерлока Холмса – кожен школяр мусить опанувати цим умінням. Уміння скла­дати адекватні математичні моделі реальних ситуацій має становити невід’ємну частину математичної освіти. Успіх забезпечує стільки за­стосування готових рецептів (жорстких моделей), скільки мате­ма­тич­ний підхід до явищ реального світу. При всьому величезному соці­аль­ному значенні обчислень (і computer science, тобто інформатики), сила математики не в них, і її викладання не повинно зводитися до обчис­лю­вальних рецептів.

В історії Росії був прем’єр-міністр з математичною освітою (закін­чив Санкт-Петербурзький університет з математики в школі Чеби­ше­ва). Ось як він описує різницю між м’яким і твердим математичним моделюванням:

«Серед математиків є два типи людей: 1) математики-філософи, тобто математики вищої математичної думки, для яких цифри та обчислення є ремеслом; для цього типу математиків цифри та обчис­лення не мають ніякого значення, їх захоплюють не цифри та обчис­лення, а самі математичні ідеї. Одним словом, це математики, так би мовити, чистої філософської математики; 2) навпаки, є такі матема­тики, яких філософія математики, математичні ідеї не хвилюють, які всю суть математики вбачають в обчисленні, цифрах і формулах...

Математики-філософи, до яких належу і я, завжди ставляться з пре­зирством до математиків-обчислювачів, а математики-обчислювачі, се­ред яких є багато вчених дуже знаменитих, дивляться на матема­ти­ків-філософів як на людей, у певному сенсі «схиблених».

Нині ми знаємо, що описані Вітте відмінності мають фізіологічне походження. Наш мозок складається з двох півкуль. Ліва відповідає за множення многочленів, мови, шахи, інтриги і послідовності сило­гіз­мів, а права – за просторову орієнтацію, інтуїцію і все необхідне в ре­альному житті. У «математиків-обчислювачів», за термінологією Віт­те, гіпертрофована ліва півкуля, зазвичай за рахунок недорозвиненості правої. Це захворювання становить їхню силу (згадаймо «Захист Лу­жина» Набокова). Але домінування математиків цього типу і призвело до того засилля аксіоматичної-схоластичної математики, особливо у викладанні (у тому числі і в середній школі), на яке суспільство при­родно і законно реагує різко негативно. Результатом стала пов­сюдна відраза до математики і прагнення всіх правителів «помститися» за пе­ренесені в школі приниження і знищити її.

М’яке моделювання вимагає гармонійної роботи обох півкуль моз­ку. Після закінчення університету Вітте не знайшов роботи за фахом і прийняв пропозицію приватної компанії стати начальником дистанції на Південно-Західній залізниці. Для зайняття цієї посади йому дове­лося пройти тижневе стажування на посаді кожного зі своїх підлеглих (стрілочника, колійного обхідника, роздавальника багажу, квиткового касира, кочегара, машиніста, начальника станції) – неоціненний досвід для майбутнього прем’єр-міністра.

Одного разу швидкість царського потяга, який прямував до Криму, за наказом Вітте на його дистанції було знижено. Незважаючи на обурення Олександра III, машиніст підкорився не царському наказу, а наказу начальника своєї дистанції. Коли потяг перейшов на наступну, вже не підпорядковану Вітте, дистанцію, швидкість було, зрозуміло, підвищено. Незабаром царський поїзд зійшов з рейок і перекинувся (катастрофа біля станції Борки). Цар запам’ятав ім’я непокірного на­чальника дистанції, і Вітте був призначений міністром (шляхів сполу­чення), а згодом став і прем’єр-міністром. З його ім’ям пов’язана вся грандіозна епоха «розвитку капіталізму в Росії», в тому числі – бу­дів­ництво діючої й нині мережі залізниць.

Але Вітте краще розбирався в реальному житті країни та в про­блемах економіки і техніки, ніж у політичних інтригах (до яких біль­ший талант мають люди «лівопівкульні»). З приходом до влади діячів на зразок Распутіна його відправили у відставку. Вітте знову «запро­шували» до влади для ліквідації критичних ситуацій, створених полі­тиками (російсько-японська війна, революція 1905 року); і можливо, якби Вітте залишався при владі в Росії протягом наступного десяти­ліття, вітчизняна історія була б зовсім іншою...

Звичайно, сила Вітте полягала аж ніяк не в застосуванні якоїсь ма­тематики («обчислення»), а в тому способі мислення, який він називає «математикою-філософією» і який змушує людину з математичною освітою розмірковувати про всі реалії навколишнього світу за допо­могою (свідомого або несвідомого) м’якого математичного моделю­вання.

Ідея про необхідність такого мислення для успіху в будь-якій еко­номічній чи виробничій діяльності (крім, можливо, політичних інтриг) була добре зрозуміла вже сто років тому.

На жаль, і в наш час залишаються актуальними слова класика ма­тематичної економіки Парето. Економісти, які не знають математики, перебувають у становищі людей, що бажають вирішити систему рів­нянь, не знаючи ні того, що вона собою являє, ні навіть того, що являє собою кожне вхідне в неї одиничне рівняння.

Висновки: плановане в усіх країнах придушення фундаментальної науки і, зокрема, математики (за американськими даними, на це їм потрібно років 10–15) принесе людству (і окремим країнам) шкоду, яку можна порівняти зі шкодою, заподіяною західній цивілізації (та Іспанії) багаттями інквізиції.

Математична освіта має бути невід’ємною частиною культурного багажу кожного школяра. Але вона не повинна жодним чином зво­ди­тися до рецептур (на зразок таблиці множення чи Windows).

Основною метою математичної освіти має стати набуття вміння математично досліджувати явища реального світу, вміння, так добре описаного Вітте в його характеристиці «математики-філософії» і так блискуче використаного ним у зовсім не математичній діяльності. Ми­с­тецтво складати і досліджувати м’які математичні моделі є най­важ­ли­вішою складовою частиною цього вміння.