5.3. Елементи теорії м’якого моделювання

Далі в нашому посібнику використано текст доповіді, прочитаної академіком В. І. Арнольдом у 1997 р. на семінарі при Президентській раді РФ. Доповідь була присвячена застосуванням теорії диферен­цій­них рівнянь у таких науках, як екологія, економіка та соціологія.

Прикладом жорсткої моделі є таблиця множення. Найпростіший приклад м’якої моделі – принцип «чим далі в ліс, тим більше дров». Можливість корисної математичної теорії м’яких моделей відкрито відносно недавно. У доповіді В. І. Арнольда на простих прикладах бу­ло показано, як ця теорія може застосовуватися в економічних, еколо­гічних та соціологічних моделях.

5.3.1. Модель війни або битви

У простій моделі боротьби двох супротивників (скажімо, двох армій) – моделі Ланкастера – стан системи описується точкою (x, y) невід’ємного квадранта площини. Координати цієї точки, x і y – це чисельності армій. Модель має такий вигляд:

Тут a – потужність зброї армії x, а b – армії y. Простіше кажучи, передбачається, що кожен солдат армії x вбиває за одиницю часу a солдатів армії y (і, відповідно, кожен солдат армії y вбиває b солдатів армії x). Крапка над буквою тут і далі означає похідну у часі t, тобто швидкість зміни позначеної буквою величини.

Це – жорстка модель, яка передбачає точний розв’язок:

Еволюція чисельностей армій x і y відбувається вздовж гіперболи, яку задано цим рівнянням (рис. 3.14). За якою саме гіперболою піде війна, залежить від початкової точки.

Ці гіперболи розділені прямою Якщо початкова точка лежить вище цієї прямої (випадок 1 на рис. 3.14), то гіпербола вихо­дить на вісь y. Це означає, що в ході війни чисельність армії x змен­шується до нуля (за скінченний час). Армія y виграє, противника зни­щено.

Рис. 3.14. Жорстка модель війни

Якщо початкова точка лежить нижче (випадок 2), то виграє армія x. У розділяючому ці випадки стані (на прямій) війна закінчується знищенням обох армій. Але на це потрібно нескінченно багато часу: конфлікт продовжує тліти і тоді, коли обидва супротивники вже зне­силені.

Висновок моделі такий: для боротьби з удвічі більш чисельним противником потрібна в чотири рази потужніша зброя, з утричі більш чисельним – у дев’ять разів і т. д. (на це вказують квадратні корені в рівнянні прямої).

Зрозуміло, що ця людиноненависницька модель занадто ідеалі­зо­вана і було б небезпечно безпосередньо застосовувати її до реальної ситуації. Постає питання: як зміниться результат, якщо модель буде дещо іншою? Приміром, коефіцієнти a і b можуть бути не строго постійними, а, скажімо, залежатимуть від x і y, і точний вигляд цієї залежності буде невідомим.

У такому разі йдеться про систему

для якої вже немає явного розв’язку.

Однак у математиці розроблено методи, які дозволяють зробити ви­сновки загального характеру і без знання точного явного вигляду функцій a і b. У цій ситуації прийнято говорити про м’які моделі – моделі, які піддаються змінам (за рахунок вибору функцій a і b – у нашому прикладі).

Загальним висновком у цьому випадку є твердження про струк­турну стійкість похідної моделі: зміна функцій a і b змінить криві, які описують хід військових дій на площині (x, y) (які вже не будуть гіперболами і прямою, що їх розділяє), але ці поправки не впливають на основний якісний висновок.

Висновок цей полягає у тому, що стани «x виграє» і «y виграє» роз­ділені нейтральною лінією «обидві армії знищують одна одну за не­скін­ченний час».

Математики вважають, що топологічний тип системи на площині (x, y) не змінюється при зміні функцій a і b, – остання приводить лише до викривлення нейтральної лінії (рис. 3.15).

Рис. 3.15. М’яка модель війни

Цей математичний висновок не є самоочевидним. Можна уявити й іншу ситуацію, наприклад таку, яка зображена на рис. 3.16. Мате­ма­тична теорія структурної стійкості стверджує, що ця ситуація не реа­лізується, в усякому разі для не занадто патологічних функцій a і b (скажімо, вона не реалізується, якщо це – невід’ємні в нулі багато­члени).

Рис. 3.16. Нереалізовна модель війни

Ми можемо зробити висновок про якісну застосовність най­про­стішої моделі війни для наближеного опису подій у цілому класі мо­делей, причому для цього навіть не потрібно знати точного вигляду жорсткої моделі: висновки справедливі для м’яких моделей. Насправ­ді найпростіша модель дає навіть корисний кількісний прогноз: нахил нейтральної прямої в нулі визначається формулою де a і b – значення коефіцієнтів у нулі.

Тобто принцип «якщо противників удвічі більше, то треба мати в чотири рази потужнішу зброю» справедливий на кінцевому етапі про­тистояння, тоді як на початковому етапі війни число 4 потрібно, мо­жливо, відкоригувати (з огляду на значення коефіцієнтів a і b) . Для цього коригування в математиці м’яких моделей теж розроблено ефек­тивні методи (незважаючи на те, що явна формула для розв’язання рівнянь моделі не тільки невідома, а й – це строго доведено – не існує взагалі).

Є підстави вважати, що описана модель почасти пояснює як нев­да­чі Наполеона і Гітлера, так і успіх Батия і надії мусульманських фун­даменталістів.