5.2.2. Народження хаосу

Статистичні дані, що характеризують динаміку національної еко­но­міки, свідчать про нерівномірність розвитку: темпи економічного зростання змінюються в часі.

Відкриття Кондратьєвим «довгих хвиль економіки» (тобто періо­дич­них спадів і підйомів темпів зростання макроекономічних показ­ників приблизно через кожні 50 років) дало імпульс для розвитку тео­рії циклів; у результаті в економічній теорії було розроблено різ­но­ма­нітні моделі з властивістю циклічності. До них належить, наприклад, модель Самуельсона–Хікса, в якій коливання національного доходу пояснюються єдиною причиною – коливаннями сукупного попиту.

Однак дія гіпотези Кейнса може і без додаткових припущень при­зводити до циклічної, а то й хаотичної динаміки змінних.

В якості прикладу розглянемо таку модифікацію спрощеної моделі Кейнса, для побудови якої знову повернемося до її ключової гіпотези. Як було сказано, традиційне, більше того – загальноприйняте трак­ту­вання цього принципу формалізується за допомогою рівняння (3.8).

Однак із гіпотези Кейнса аж ніяк не випливає, що значення про­позиції (національного доходу) в кожен наступний момент часу має дорівнювати значенню попиту в попередній момент. Строго кажучи, вона визначає лише напрямок зміни національного доходу, тому більш послідовною і загальною є така її формалізація: знаки збіль­шень національного доходу та надлишкового попиту збігаються. У цьому випадку зростання національного доходу відбувається, якщо попит вищий за пропозицію, а зниження національного доходу – якщо попит нижчий за пропозицію. Таку умову задовольняє не тільки роз­глянута модель, а й таке, вже нелінійне, одновимірне відображення:

   (3.10)

де g > 0 – коефіцієнт реакції економіки на дисбаланс між попитом і пропозицією.

Рівняння (3.10) може бути зведене суто формально до рівняння Ріккера, яке задає ітераційний процес:

(3.11)

Тут де

Рівняння Ріккера (3.11) вперше було використано в математичній біології для аналізу динаміки популяцій. Воно має властивість бі­фуркації подвоєння періоду, яка полягає в наступному: при порів­няно малих значеннях біфуркаційного параметра A рівноважний розв’язок рівняння є стійким; при збільшенні цього параметра рівновага пору­шується – виникають цикли періоду 2, 4, 8 і т. д., а при ще більших значеннях біфуркаційного параметра настає детермінований хаос.

Це добре видно на рис. 3.10 і 3.11 (ліворуч), де ітераційний процес (3.11) зображений на площині при різних значеннях біфуркаційного параметра A з використанням графіків функцій і Тут застосовується той же прийом, що й при розгляді динаміки націо­наль­ного доходу в спрощеній моделі Кейнса (див. рис. 3.9).

Тут з часом встановлюються цикли: змінна набуває послідовно значень і (у першому випадку) або значень , , і (у другому).

Ліворуч зображено фазову діаграму, що характеризує динаміку змінної , праворуч – відповідну зміну у часі.

Розглянемо уважно рис. 3.11 (правий), де показано динаміку змін­ної на невеликому часовому проміжку. Може скластися вра­ження, що тут змінна змінюється випадково, хаотично. Але оскільки дина­міка системи описується детермінованим рівнянням (3.11), цю особ­ливість стали називати детермінованим хаосом.

Рис. 3.10. Динамічна спіраль – цикли періоду 2 (ліворуч) і 4 (праворуч)

Рис. 3.11. Детермінований хаос

Для ілюстрації властивості біфуркації зручно використовувати бі­фуркаційні діаграми, які в разі одновимірного відображення є мно­жиною точок площини, абсциси яких дорівнюють значенням біфур­каційного параметра, а ординати – сталим значенням цієї змінної (рис. 3.12). На рисунку видно, як зі зростанням параметра A зміню­ється характер розв’язку. Спочатку розв’язок відповідає стану рів­новаги, потім стає періодичним, з циклічними коливаннями змінної між двома значеннями (крива «роздвоюється»), і, нарешті, переходить до детермінованого хаосу (тонована область на діаграмі).

Рис. 3.12. Біфуркаційна діаграма одновимірного відображення та його збільшений фрагмент (праворуч)

Досі ми говорили про одновимірне відображення, яке виникало при моделюванні динаміки національного доходу в руслі спрощеної мо­делі Кейнса. Однак макроекономіка – складна система, і її розвиток характеризується багатьма змінними. Розроблено різні нелінійні ди­намічні моделі, в яких розглядалася динаміка ряду макрозмінних, у то­му числі ставки відсотка і рівня цін. Закономірно, що ускладнення об’єкта дослідження (зокрема облік взаємовпливу товарного та гро­шо­вого ринків) призводило до ускладнення моделі: збільшувалась не тільки розмірність відображення, а й число біфуркаційних параметрів.

Виконані обчислювальні експерименти свідчать, що при збіль­шен­ні розмірності моделі ускладнюється поведінка динамічної системи, що видно з порівняння рисунків 3.12 і 3.13. Однак основна властивість одновимірного відображення (3.11) – властивість біфуркації – також властива побудованим двовимірних і тривимірних точковим відо­бра­женням, моделюючим взаємовплив кінцевого продукту, рівня цін і ставки відсотка.

Тут, як і в одновимірному випадку, стан рівноваги макро­еко­но­міч­ної системи змінюється циклами періодів 2, 4, 8 і т. д., які переходять в область хаосу; хаотична змінна змінюється на циклічну з періодами 5, 6 і вище, після чого період може знизитися, потім знову можлива хаотична поведінка і т. д. При цьому область стійкості рівноважного розв’язку досить вузька.

На рис. 3.12 на осі абсцис відкладаються значення параметра A, на осі ординат – значення змінної при 4 900 < t < 5 000.

На рис. 3.13 на осі абсцис відкладаються значення коефіцієнта ре­ак­ції рівня цін, на осі ординат – значення ставки відсотка.

Рис. 3.13. Проекція біфуркаційної діаграми тривимірного відображення (випадок взаємовпливу ставки відсотка, рівня цін та кінцевого продукту)

Отже, дослідження економічних процесів за допомогою багато­ви­мірних нелінійних відображень, які характеризують динаміку макро­економічних змінних, приводить до висновку, що цим процесам влас­тиві, залежно від значень параметрів, різні динамічні режими: рів­но­вага, циклічність і досить складна квазістохастична поведінка (детер­мінований хаос). При відносно невеликих значеннях коефіцієнтів ре­акцій ціни і ставки відсотка на дисбаланс між попитом на товари та їх пропозицією, а також коефіцієнтів реакції економіки на невідпо­від­ність попиту та пропозиції, система в перспективі веде себе просто: з часом встановлюється або рівновага, або періодичні коливання з ма­лим періодом. Однак при збільшенні навіть одного з коефіцієнтів ре­акції відбувається ускладнення динаміки змінних моделі. Це означає, що в загальному випадку рівноважне рішення є нестійким, а динаміка змінних узагальненої макроекономічної моделі може бути досить склад­ною і при деяких значеннях параметрів набувати стохастичних властивостей. Слід зазначити, що складний характер розв’язків не є наслідком випадкового зовнішнього впливу, а внутрішньою власти­віс­тю використовуваної детермінованої моделі.

Більше того, аналіз динаміки розглянутих моделей дозволяє при­пустити: складна поведінка змінних (циклічність, хаотичність та ін.) є невід’ємною властивістю самої макроекономічної системи. Тому за­сто­сування квазістаціонарних підходів до прогнозування макро­еко­но­міки може мати сенс лише в тому випадку, коли коефіцієнти реакції відповідної динамічної моделі лежать в області стійкості її рівно­важ­ного розв’язку. Це відбувається, наприклад, при такому державному регулюванні змін відсоткової ставки та рівня цін і такій реакції еко­номіки на відхилення системи від рівноваги, коли не допускаються різкі злети і падіння макроекономічних змінних.

Сказане означає, що квазістаціонарний підхід може бути ефек­тив­ним лише при аналізі макроекономічних тенденцій економіки, яка склалася і змінюється еволюційно, в якій діють механізми державного регулювання, спрямовані не тільки на стимулювання попиту, а й на усу­нення відхилень макроекономічної системи від траєкторії еволю­ційного розвитку. Мабуть, лише в цьому випадку можна говорити про «автоматичну дію» рівноважних ринкових механізмів, які, як і «неви­ди­ма рука» А. Сміта, забезпечують стійкість рівноваги макроеко­но­міч­них ринків.