5.1.3. Експоненційна модель з відловом

У цій моделі не враховується конкуренція, проте передбачається, що внаслідок промислу з популяції з постійною швидкістю вилу­ча­ється певна кількість особин за одиницю часу. Цю фіксовану чисель­ність позначимо через с і назвемо квотою відлову. Дискретний варіант такої моделі має вигляд

(3.2)

Можлива економічна інтерпретація отриманої моделі може бути на­ступною: – прибуток фірми в n-й момент часу; а – коефіцієнт, що демонструє здатність працівників фірми збільшувати прибуток за один період часу (а > 1); с – постійні платежі, які не залежать від n і

Стаціонарна траєкторія є критичною: падіння чисель­но­сті популяції нижче зазначеної величини веде до її загибелі. В еко­номічній інтерпретації це означає, що існує певне критичне значення початкового прибутку. Якщо початковий прибуток фірми перевищує критичне значення то далі цей прибуток необмежено зростає. Як­що ж початковий прибуток менше критичного, то з часом фірма розо­рюється. При великих платежах критичний рівень прибутку зростає до високого значення і фірмі потрібен високий стартовий капітал, щоб вижити на ринку.

Приклад. Нехай персонал фірми здатний збільшувати її прибуток кожен рік на 10 % порівняно з рівнем минулого року. Щорічні платежі фірми дорівнюють 1 млн грн. Знайдемо величину початкового стар­то­вого капіталу фірми, необхідного для її безпечної життєдіяльності.

У цьому випадку рівняння (3.2) набуває вигляду Критичне значення досягає величини млн грн. На рис. 3.2 представлено результати розрахунку декількох траєкторій при зміні n від 1 до 15.

Рис. 3.2. Динаміка фінансів фірм з різним стартовим капіталом

5.1.4. Логістична модель з відловом

Ця модель є синтезом двох попередніх моделей: вона враховує кон­куренцію і передбачає регулярний відлов. Модель визначається фор­мулою

(3.3)

Економічна інтерпретація цієї моделі полягає в тому, що вона описує поведінку фірми в умовах можливого насичення ринку і за наявності платежів, що не залежать від часу, прибутку або капіталу фірми.

Модель при малих значеннях квоти відлову с має два стаціонарних стани:

Результати розрахунку декількох траєкторій за формулою представлено на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Траєкторії логістичної моделі з помірним відловом

Якщо то корені і зіллються. Квота відлову при цьому досягне максимального значення. Однак таку ситуацію фахівці називають: «оптимізація як шлях до катастрофи». Справа в тому, що якщо внаслідок будь-яких зовнішніх причин розмір популяції вия­вить­ся хоч трохи нижчим рівня то надалі популяція буде знищена повністю за скінченний час (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Оптимізація як шлях до катастрофи

Якщо квота відлову с стане більшою за критичний рівень: то на популяцію чекає загибель за будь-яких початкових умов. Ситуація перелову наведена на рис. 3.5, де показано траєкторії моделі .

Рис. 3.5. Траєкторія логістичної моделі в ситуації перелову

В економічній інтерпретації ситуація перелову може означати ро­зорення фірми під тягарем постійних платежів с, неспівмірних з мо­жливостями фірми та з жорсткістю умов ринку, що у формулі (3.3) ха­рактеризуються параметрами а та b відповідно.

На думку академіка В. І. Арнольда, чисельність населення Росії ще не знизилася до цього смертельно небезпечного рівня, але набли­жа­ється до нього. Наука ж у Росії знаходиться на сьогодні в умовах «пе­релову». Швидкість зменшення чисельності вчених у Росії через їхній масовий виїзд за кордон («витік умів») в основному обмежується ди­скримінаційними заходами, прийнятими на Заході для охорони своїх робочих місць від напливу фахівців з Росії.