Розділ ііі моделі та аналіз складних процесів і систем

Глава 5. Моделювання і аналіз соціально-економічних систем

5.1. Деякі базові математичні моделі та їхнє застосування в дослідженні соціально-економічних процесів

Праці останніх років з моделювання складних систем різної при­роди дозволили сформулювати концепцію ієрархії спрощених моде­лей. В основі такої концепції лежить набір базових математичних моделей, що дають можливість ефективно будувати і досліджувати ве­ликі класи моделей різних явищ. Образно кажучи, базові моделі ви­ступають в якості складових частин, за допомогою яких конструюють опис конкретного явища. Важливо підкреслити два принципових фак­ти, виявлені в останні двадцять років. По-перше, базових матема­тич­них моделей небагато. Навіть гранично прості нелінійні матема­тич­ні моделі можуть виявитися глибокими і змістовними. По-друге, з їхньою допомогою, не проходячи всі ступені ієрархії, пов’язані з дета­лізацією та ускладненням математичного опису, стало можливим прогнозувати явища природи.

5.1.1. Модель Мальтуса

Т. Мальтусом наприкінці XVIII ст. було запропоновано модель екс­поненційного зростання населення планети з плином часу. Він при­пус­тив, що швидкість росту населення dx / dt пропорційна чисельності населення х. Математично закон Мальтуса може бути описаний ди­фе­ренційним рівнянням

де  k – коефіцієнт, що відображає природний приріст населення (різ­ни­ця між рівнями народжуваності та смертності приймається постійною);

x – чисельність населення в момент часу t.

Рішенням цього рівняння є функція де – чи­сель­ність населення в початковий момент часу. За законом Мальтуса, зростання чисельності населення відбувається дуже швидко, подвою­ючись через час ln2 / k. Коли кількість населення стає надто великою, мальтусівська модель з постійним коефіцієнтом k перестає бути при­датною. Однак якщо нас цікавлять недовготривалі процеси, лінійна модель Мальтуса може виявитися цілком відповідною. Наприклад, вона може бути застосована до опису процесу розвитку науки в 1700–1950 рр., що характеризується, скажімо, чисельністю наукових статей.

Зауважимо, що в моделі Мальтуса замість чисельності населення можна розглядати зміну продуктивності праці, обсягу інвестицій, рів­ня освіти і т. д.

5.1.2. Логістична модель

Недоліком моделі Мальтуса є те, що вона не враховує системний характер розвитку. Виробництво, наприклад, продуктів харчування і відтворення населення взаємообумовлені за допомогою безлічі зв’яз­ків. Природно, що за дуже великих x конкуренція за ресурси (їжу) при­зводить до зменшення k. Тому жорстка модель Мальтуса потребує уточнення, що враховує залежність коефіцієнта k від чисельності населення.

Повертаючись до моделі розвитку науки, зауважимо, що подальше експонентційне зростання за моделлю Мальтуса призвело б до того, що в XX ст. вичерпалися б запаси паперу і чорнила, а кількість вчених досягла б половини населення земної кулі. Зрозуміло, що суспільство не може цього допустити і, отже, розвиток науки має бути стримано, що й спостерігається нині в багатьох країнах (у тому числі в Росії) у вигляді здійснення всіляких реформ академічної науки.

Замість жорсткої моделі Мальтуса розглянемо м’яку модель

яка передбачає вибір різних функцій k(x). Найпростішим прикладом є k(x) = а – bx, що призводить до так званої логістичної моделі

(3.1)

Вибір цієї функції може бути обґрунтований певними мірку­ван­ня­ми. Оскільки ресурси обмежені, то природно припустити, що рівень народжуваності зі зростанням чисельності населення буде падати, а рі­вень смертності – збільшуватися. Задамо рівень народжуваності функ­цією

де – початковий рівень народжуваності;

 – швидкість падіння рівня народжуваності із збільшенням чи­сель­ності населення х.

Аналогічно, рівень смертності може бути знайдений як де – початковий рівень народжуваності; – швидкість зростання рівня смертності зі збільшенням чисельності населення. Тоді для кое­фі­цієнта k в рівнянні Мальтуса маємо:

Нехай Підставивши наведені вирази в рів­няння Мальтуса, отримаємо диференційне рівняння (3.1).

На рис. 3.1 зображено залежність кількості населення від часу за різних початкових умов. Коли чисельність населення мала, модель ду­же близька до мальтузіанської (пунктирна лінія), але далі її поведінка різко відрізняється від мальтузіанського зростання: замість виходу x в нескінченність кількість населення наближається до стаціонарного стану. Чисельність населення Землі нині становить 6 млрд осіб. Ста­ціо­нарне значення його (за різними оцінками) – 16–20 млрд чоловік.

Рис. 3.1. Приклад логістичної кривої

Зауважимо, що зроблені висновки справедливі для широкого класу моделей з різними спадними функціями k (x). Логістична модель за­довільно описує численні явища насичення. Емпіричний аналіз вели­чезної кількості природних, техніко-економічних та соціокультурних процесів показав, що їхнє зростання, розвиток, поширення улягають логістичному закону. У книзі Ю. М. Плотинського «Моделі соціаль­них процесів» наведено багато прикладів, починаючи від розвитку транспорту і комунікацій до зростання народонаселення. S-подібні кри­ві добре описують зміну одного виду техніки іншим, зміну техно­логій, еволюційні процеси в економічній та соціокультурній сферах.

Ще одним прикладом логістичної моделі може бути класична мо­дель дифузії інновацій. Позначимо кількість людей, які прийняли певну інновацію до моменту часу t, через Нехай М – ємність рин­ку, тобто максимально можлива кількість осіб, здатних сприймати це нововведення. Припустимо, що приріст прихильників новинки про­порційний числу можливих зустрічей між ними й тими, хто поки що сумнівається. Число таких зустрічей пропорційно Отри­мує­мо логістичне рівняння де а – коефіцієнт про­порційності. Чисельні експерименти з отриманою моделлю проде­мон­стрували безліч режимів, включаючи хаотичні, які описують ево­люцію процесу поширення нововведень. Здійснення таких експе­ри­ментів дозволяє визначити межі параметрів, у яких система веде себе стабільно, а також виробити стратегію управління при різних режимах поведінки.

Логістична модель дифузії інновацій використовувалась амери­кан­ськими політологами Дж. Модельскі та Г. Пері (1991) при прогно­зу­ванні процесу демократизації. Процес поширення демократичної фор­ми правління при цьому розглядався як процес дифузії інновацій. З 1450 по 1800 р. частка населення, яка обрала демократичні форми прав­ління, не перевищувала 1–2 % усього населення земної кулі. Од­нак далі процес дифузії почав набирати обертів. До 1990 р. частка населення, що живе в умовах демократії, досягла 50 %, а до 2100 р. за прогнозом авторів моделі це значення складе 90 %.

Можна навести ще чимало прикладів успішного використання цієї моделі на практиці.