Збурення Збурення Збурення Збурення Збурення Збурення Збурення Збурення збурення збурення

Рис. 2.42. Модель творчої особистості

4.2.2. Біфуркації на фазовій площині

Основними характеристиками фазового портрета на площині є стан рівноваги і граничні цикли. Сепаратриси зв’язують сідлове положення рівноваги з особливими точками і граничними циклами. Якщо змі­ню­вати параметри структурно стійкої системи, тоді її фазовий портрет буде теж змінюватися, але його топологічна структура у визначеному діапазоні значень параметра залишатиметься постійною. При досяг­нен­ні критичних значень параметрів відбувається біфуркація – зміню­ється топологічна структура фазового портрета. Якісне дослідження динамічної системи, що залежить від параметрів, припускає опис усіх можливих у ній біфуркацій і визначення множини біфуркаційних значень параметрів.

Розглянемо системи, що залежать від одного параметра. Повер­німося до рисунка, на якому зображені типові фазові портрети в околі точки рівноваги. У двох випадках стан рівноваги є стійким: стійкі фокус і сідло, а в третьому – нестійким: сідло, нестійкі вузол і фокус.

Якщо в процесі зміни системи параметр наближається до біфур­ка­ційного значення, тоді або обидва стани рівноваги зливаються і «вми­рають» (система здійснює стрибок в інший режим), або «народ­жу­єть­ся» два стани рівноваги. Причому з цих двох станів один – стійкий, а інший – нестійкий.

Ситуація виникнення граничного циклу може бути проілюстрована такою системою рівнянь:

   (2.79)

де с – константа, і – полярні координати ( ; ). Якщо , то динамічна система (2.77) має один стійкий фокус. Якщо параметр змінюється і стає від’ємним, тоді відбувається бі­фуркація Хопфа, фокус втрачає стійкість і в системі виникає стійкий граничний цикл із радіусом .

Фазовий портрет системи (2.77) у цьому випадку буде складатися з траєкторій, які зсередини і зовні «намотуються» на граничний цикл. Це означає, що незалежно від початкового стану система досить швид­­ко перейде на режим періодичних коливань (автоколивальний режим).

Розглянемо біфуркації, пов’язані з граничними циклами. У цьому ви­падку можливі два варіанти. У першому варіанті зі стійкого фокуса при зміні параметра народжується стійкий граничний цикл (рис. 2.43).

У другому варіанті при зміні параметра нестійкий граничний цикл зникає і його нестійкість передається стану рівноваги – фокусу (рис. 2.44).

Рис. 2.43. Народження циклу

Рис. 2.44. Загибель циклу

У першому варіанті після втрати стійкості стану рівноваги вста­новлюється коливальний періодичний режим (м’яка втрата стійкості).

У другому варіанті система переходить зі стаціонарного режиму стрибком (жорстка втрата стійкості) до іншого режиму руху.

Множина точок, до яких притягаються траєкторії автономних сис­тем, називається атрактором. Для систем із двома змінними існує тільки два типи атракторів: особлива точка і граничний цикл. У пер­шому випадку всі досліджувані величини з часом виходять на постійні значення, у другому – на періодичний режим.

При кількості змінних у системі і наявності у правій частині тільки лінійних і квадратичних членів можливе виникнення дивних атракторів. Дивний атрактор у деяких випадках схожий на клубок тра­єкторій і нагадує дві стрічки, склеєні між собою. Якщо спостерігати за поведінкою точки, яка характеризує стан системи, на екрані дисплея, то можна побачити, що точка «бігає» по атрактору, випадково (хао­тично) подається то на ліву, то на праву стрічку.

Дивні атрактори чутливі до початкових даних. Якщо вибрати дві близькі точки, які лежать на атракторі, і проаналізувати, як буде змі­нюватися відстань між ними з часом , то виявляється, що можливі наступні варіанти:

• якщо атрактор – особлива точка, тоді при (точ­ки зливаються в одну);

• атрактор – граничний цикл, – періодична функція часу;

• дивний атрактор ( ), при (точки роз­бігаються з експоненціальною швидкістю).

Отже, у дивного атрактора дві близькі траєкторії згодом пере­ста­нуть бути близькими. Це означає, що як би точно не вимірялися по­чаткові дані, помилка згодом стане великою, і отже, поведінку сис­теми на великих часових інтервалах спрогнозувати не можна.

З цим явищем пов’язаний так званий «ефект метелика».

Історія метелика, випадково роздавленого під час сафарі учас­ни­ками подорожі на машині часу, описана в блискучій розповіді Р. Бред­бері «І грянув грім»: «Воно впало на підлогу – витончене маленьке створіння, здатне порушити рівновагу, повалити маленькі кісточки доміно... великі кісточки... величезні кісточки, з’єднані ланцюгом не­зліченних років, що складають Час». А в підсумку – замість гарного президента вибори виграв диктатор...

Дивні атрактори описав метеоролог Лоренц у 1963 р., моделюючи задачі прогнозу погоди. З наявності ефекту метелика випливає прак­тична неможливість прогнозу погоди: якщо необхідно прогнозувати погоду на 1–2 місяці наперед з похибкою , то початкові дані мають бути відомі з похибкою

Перехід системи в режим дивного атрактора означає, що в ній спо­стерігаються складні неперіодичні коливання, які дуже чутливі до не­значних змін початкових умов. Такий режим може бути названий хао­тичним. Можливий сценарій хаотизації приведено на рис. 2.45.

Р

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

ис. 2.45. Сценарії хаотизації

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

рівновага

Дослідження екологічних моделей привело вчених до експери­мен­тального відкриття каскадів подвоєнь періоду. Універсальність цього явища довів М. Фейгенбаум (1978). Каскад подвоєнь періоду можна описати так. У певній області значення параметра система діє в пе­ріо­дичному режимі з періодом ; при переході через біфуркаційне зна­чення параметра період подвоюється і дорівнює ; подальша зміна параметра знову призводить до подвоєння періоду – він дорівнює і т. д. Послідовні біфуркації подвоєння швидко відбуваються одна за одною – кінцевий відрізок зміни параметра містить нескінченну кіль­кість подвоєнь (після біфуркацій кількість циклів дорівнює ).

Отже, досліджуваний еволюційний процес стає все складнішим. У ліміті з’являється надскладна організація – кількість циклів , про­цес стає неперіодичним, випадковим, виникає хаос.