4.1.2. Якісний аналіз економічної системи, що знаходиться під впливом новітніх інформаційних технологій (ніт)

Для прикладу візьмемо двовимірну макроекономічну структуру, яка добре моделює взаємодію двох суміжних галузей завдяки НІТ (газова промисловість, чорна металургія і т. д.).

Як відомо, рівняння, що описують таку макроекономічну систему, будуть мати такий вигляд:

   (2.66)

де

Будемо вважати, що коефіцієнти мало зміню­ють­ся в часі, і їх можна прийняти на інтервалі спостереження по­стійними. Тоді можна виділити праві частини:

   (2.67)

Знайдемо стан рівноваги. Прирівнюючи ліві частини рівняння (2.67) до нуля одержимо

Очевидно, загальна кількість станів рівноваги буде дорівнювати ком­бінації отриманих станів, тобто їхня загальна кількість дорів­нювати 4:

1) 2) 3) 4)

Обчислимо, у загальному виді, матрицю лінійного наближення:

Для складання дисперсійного (характеристичного) рівняння маємо:

звідки дисперсійне (характеристичне) рівняння отримує такий ви­гляд:

   (2.68)

де

1. Розглянемо перший з чотирьох станів рівноваги

У цьому випадку маємо

   (2.69)

Оскільки то ми отримаємо корені дійсні, одного знака, і отже, стан є нестійким вузлом. Фізично це означає, що система не може знаходитися при нульовому випуску, і за найменших змін параметрів обов’язково спостерігається інтенсивне зростання випуску як у першій, так і в другій макро­сис­темах.

2.  Розглянемо другий стан рівноваги: Для цього випадку маємо тому дисперсійне рівняння на­буде такого вигляду:

   (2.70)

Тут маємо критичну точку в якій корені стають нульовими. При система буде стійкою, стан рівноваги є стійким вузлом. При стан рівноваги є нестійким вузлом. Очевидно, критична точка – це стан нейтральної стій­кості.

3. Тепер розглянемо третій стан рівноваги. У цьому випадку

Дисперсійне рівняння набуде такого вигляду:

   (2.71)

   (2.72)

Тут маємо критичну точку в якій корені стають нульо­вими і система в ній нейтрально стійка. При система буде стійкою, стан рівноваги – стійким вузлом. При стан рів­но­ваги є нестійким вузлом.

4. Розглянемо четвертий стан рівноваги:

У цьому випадку

Дисперсійне рівняння буде виглядати так:

   (2.73)

загальний розв’язок:

   (2.74)

Якщо підкореневий вираз від’ємний, то стан рівноваги буде стій­ким вузлом, при зміні знака підкореневого виразу стан рівноваги пе­ретвориться в стійкий фокус. У критичній точці, коли

система стрімко переходить зі стійкого фокуса в стійкий вузол.

4.2. Елементи теорії структурної динаміки

4.2.1. Основи теорії катастроф

На початку 70-х рр. став популярним термін «катастрофа», що позначає стрибкоподібні зміни, які виникають при плавних змінах зна­чень параметрів. У популярних виданнях теорія катастроф рекла­му­валась як переворот у математиці, порівняно з винаходом дифе­рен­ційного й інтегрального обчислення. За останні двадцять років з’яви­лися сотні наукових публікацій з природознавства і техніки, в яких теорія катастроф успішно застосовувалась. Оприлюднено також праці про використання моделей теорії катастроф у економіці, психології, лінгвістиці, соціології.

Після періоду ейфорії, викликаною широкою саморекламою, з’яви­лися більш тверезі оцінки застосування теорії катастроф, більш того, з’ясувалося, що багато серйозних результатів було отримано до «про­голошення» теорії катастроф.

Один з провідних радянських математиків, В. І. Арнольд, відзна­чає, що обґрунтованість використання теорії катастроф істотно зале­жить від обґрунтованості початкових передумов: «Наприклад, у теорії ударів пружних конструкцій і в теорії перекидання кораблів прогнози теорії цілком підтверджуються експериментом. З іншого боку, в біо­логії, психології та соціальних науках (скажімо, в додатках до теорії поведінки біржових гравців або до вивчення нервових хвороб) як по­чаткові передумови, так і висновки мають швидше евристичне зна­чення».

Розглянемо основні положення теорії катастроф на прикладі ка­та­строфи «зборка», якій відповідає диференційне рівняння

   (2.76)

При варіюванні значень параметрів і поведінка системи (кіль­кість стаціонарних точок, їхнє розташування) буде також змі­ню­ватися. Для вивчення якісного характеру цих змін розглянемо потен­ційну функцію

   (2.77)

Помітимо, що На рис. 2.39 наведено дво­ви­мір­ні графіки, які характеризують поведінку функції

На рис. 2.39(а) зображена крива, що називається біфуркаційною: Ця крива розділяє площину ( ) на дві частини. Все­редині кривої функція має два мінімуми (рис. 2.39(b)). За межами цієї кривої функція має тільки один мінімум (рис. 2.39(с)). Як ві­домо, екстремальні значення функції можна визначити, прирів­няв­ши до нуля першу похідну:

   (2.78)

але це ж рівняння визначає стаціонарні точки диференційного рів­нян­ня (2.76). Отже, крива розділяє площину ( ) на дві об­­лас­ті, у першій з яких є одна особлива точка, а у другій – дві.

Рис. 2.39. Графіки потенційної функції

Якщо в тривимірному просторі на вертикальній осі відкласти по­ложення особливих точок рівняння (2.76) х (теорія катастроф вивчає питання структурної стійкості спеціального класу диференційних рівнянь, права частина яких може бути представлена у вигляді гра­дієнтної системи, тобто як рух у полі потенційних сил з потенціалом : ), а на двох інших осях – зна­чен­ня параметрів і , то одержимо поверхню катастроф (рис. 2.40). Проекція на площину параметрів ( ) точок поверхні, в яких є вер­тикальна дотична, є біфуркаційною кривою.

Припустимо, що безперервній зміні значень параметрів і на рис. 2.40 відповідає рух по кривій , тоді в точці відбувається катастрофа – система стрибком переходить з одного стану рівноваги в інший ( ).

Відзначимо, що кожному значенню параметрів і , що знахо­дять­ся всередині біфуркаційної кривої, відповідають два різні стани сис­теми (бімодальність).

На поверхні катастроф можна спостерігати явище гістерезису, коли різка зміна в поведінці системи істотно залежить від передісторії процесу. Наприклад, при зміні стану системи вздовж кривої , як було наведено вище, відбувається стрибок з верхнього аркуша на ниж­ній, з точки в точку . Але при русі вздовж кривої стри­бок з нижнього аркуша на верхній відбудеться не в точці , а в точці .

Параметр одержав назву нормального фактора, параметр – роз­щеплюючого фактора.

Монографія Постона і Стюарта була присвячена використанню теорії катастроф у проблемах соціологічного моделювання, зокрема в ній аналізуються дослідження порушень режиму у в’язниці Гартрі про­тягом 1972 р. Застосовуючи факторний аналіз, автори дослідження розділили фактори, що впливають на хаос, на дві загалом незалежні групи: напруженість (почуття розчарування і безвиході, тяжкий стан) та роз’єднаність (взаємне відчуження, відсутність спілкування, роз­поділ на два табори).

тихо

тихо

Рис. 2.40. Катастрофа «зборка»

Рис. 2.41. Модель збурень у в’язниці

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

тихо

тихо

тихо

тихо

тихо

тихо

тихо

тихо

тихо

А – теорія

Аналіз показав, що зі зростанням напруженості підвищується імо­вір­ність збурень, а збільшення роз’єднаності пов’язане з характером з

збурення

збурення

збурення

збурення

збурення

бурень: вони стають більш раптовими і жорстокими.

Динаміка системи може бути проаналізована за допомогою ката­строфи типу «зборки», з віссю напруженості, ортогональної до вістря, і віссю роз’єднаності, що йде вздовж вістря (рис. 2.41).

З рис. 2.41 видно, що при низьких значеннях роз’єднаності система прагне до стійкого стану помірного хвилювання, а при високому рівні роз’єднаності – змінює свій стан стрибком з нижнього аркуша на верхній і назад. Система робить коливання всередині біфуркаційної мно­жини катастрофи «зборка», що підтверджується реальними дани­ми.

В. І. Арнольд вважає, що застосування теорії катастроф за умов, коли не тільки не відомі досліджувані функції, але й саме їхнє іс­ну­вання є проблематичним, має спекулятивний характер. Яскравий при­клад такого твердження належить англійському математикові К. Зі­ману, який запропонував модель творчої особистості.

Вважатимемо, що творчу особистість (вченого) можна описати трьо­ма параметрами: «техніка», «захопленість», «досягнення». При­пус­тимо, що катастрофа «зборки», зображена на рис. 2.42, задовільно описує досягнення вчених, умовно розділених на дві групи: «генії» та «маніяки».

Дослідимо, як залежать досягнення вченого від його техніки і за­хоп­леності. Якщо захопленість ( ) мала, то досягнення ( ) моно­тон­но зростають разом зі зростанням техніки ( ). Біфуркації відбу­ва­ються при досить великій захопленості. Наприклад, якщо техніка і захопленість змінюються вздовж кривої 1 на рис. 2.42, тоді в точці досягнення зростають стрибком. При цьому ми переходимо в область високих досягнень (генії).

Однак якщо зростання захопленості не супроводжується ростом техніки, то рух відбувається по кривій 3 і досягнення стрибком по­трапляють у точку . Ми опиняємося в області малих досягнень («ма­ніяки»). Зауважимо, що «маніяк» і «геній» у цій моделі можуть мати рівні техніку і захопленість, але при цьому їхні досягнення різко відрізняються – внаслідок того, що стрибки зі стану «геній» у стан «маніяк» відбуваються на різних лініях.

Моделі теорії катастроф є математичною інтерпретацією діалек­тики Гегеля – законів переходу кількості в якість, єдності та боротьби протилежностей.