Глава 4. Елементи теорії стійкості систем

4.1. Аналіз нелінійних економічних систем, що розвиваються

4.1.1. Основні дослідження стійкості нелінійних динамічних систем

При моделюванні розвитку великих систем великий дуже цікавим є вивчення їхньої поведінки під дією різних зовнішніх збурень, тобто питання, яке розглядає теорія стійкості.

У класичних працях з теорії стійкості, як правило, аналізувалися збу­рення, що виникають у початковому стані системи або на її зов­нішньому вході. Для сучасного підходу характерне вивчення збурень у структурі самої системи. І в тому, і в іншому випадку мета вивчен­ня – визначити, чи буде істотно змінюватися поведінка системи в ре­зультаті незапланованих (у тому числі й небажаних) змін у режимі управління. Практична цінність такого дослідження полягає в можли­вості своєчасного передбачення виникаючої невідповідності в струк­турі розглянутої системи, визначення моменту потрапляння в кри­тичну область, що служить своєрідним сигналом для розробки і впро­вадження заходів, які дозволяють впливати на об’єкт, не допускаючи падіння темпу зростання його ефективності. Іншими словами, резуль­тат такого дослідження дозволяє прогнозувати момент переходу сис­теми на нові технології, сприяти виникненню нових технологій у рамках старих, впливати на хід науково-технічного прогресу.

Загальна якісна теорія динамічних систем. Нехай поведінка динамічної системи описується сукупністю звичайних диференційних рівнянь:

де – стан (точка) системи, – параметри системи. Тоді стаціонарний стан знаходиться з рівняння

   (*)

Якщо – особлива точка – розв’язок системи кінцевих рівнянь (*), тоді питання про стійкість отриманого стаціонарного стану вирішується обчисленням коренів характеристичного рівняння

(**)

  

Стаціонарний стан стійкий, якщо де – корені рівняння (**). Точки, в яких порушуються умови стійкості, нази­ва­ються критичними, або екстремальними.

Найбільш розробленою є теорія динамічних систем другого по­рядку.

У цьому посібнику ми перейдемо від загальних понять до строгих кількісних визначень стійкості за Ляпуновим. Для цього розглянемо основи теорії систем, які описуються двома диференційними рівнян­нями другого порядку. Така двовимірна система може бути представ­лена в такому вигляді:

   (2.30)

де – безперервні функції, які визначені в певній області G – евклідовій площині і мають у цій області безперервні по­хідні не нижче першого порядку. Змінні змінюючись у часі від­повідно до системи рівнянь (2.30), визначають стан системи так, що кожному її стану відповідає визначена пара значень невідомих.

Стосовно до системи двох рівнянь визначення стійкості виглядає так. Стан рівноваги стійкий, якщо для будь-якої заданої області при­пустимих відхилень від стану рівноваги (область ) ми можемо вка­зати область яка оточує цей стан рівноваги і має такі влас­ти­во­сті, що жодна траєкторія зображуючої точки, яка починається всере­дині ніколи не досягне границі області І навпаки, стан рівноваги характеризується як нестійкий, якщо може бути вказана така область відхилень від станів рівноваги (область ), для якої не існує області яка оточує стан рівноваги і має такі властивості, що жодна тра­єк­торія, яка починається всередині ніколи не досягне границі

Дослідження властивостей стійкості базується на топологічних ме­тодах аналізу систем і уявленні про її фазовий портрет. Тому роз­гля­немо площину з осями координат, на яких відкладено значення змінних y₁, y₂. Кожна точка К на цій площині з координатами (Y₁, Y₂) відповідає визначеному стану системи. Ця площина називається фа­зовою площиною, або площиною станів системи, а точка К(Y₁, Y₂) – точкою, що зображує або представляє (зображуючою точкою). Су­куп­ність усіх точок К(Y₁, Y₂) на фазовій площині (Y₁, Y₂), положення яких відповідає станам системи в процесі зміни відповідно до рівнянь (2.30), називається фазовою траєкторією.

Фазова площина, розбита на траєкторії, дає фазовий портрет сис­теми і дозволяє відразу охопити всю сукупність змін змінних (Y₁, Y₂) за будь-яких початкових умов. Методи дослідження стійкості дозво­ляють, не розв’язуючи систему рівнянь (2.30), а керуючись тільки ви­глядом рівнянь, побудувати фазовий портрет системи.

Топологічні методи аналізу систем, визначених диференційними рівняннями, дозволяють одержати нове уявлення про якісний характер розв’язку і визначають ряд кількісних даних. У процесі дослідження стійкості поведінки систем топологічними методами розв’язки дифе­ренційних рівнянь мають вигляд не явних функцій часу, а інте­граль­них кривих у фазовому просторі. Особливо цікавими для аналізу є умо­ви рівноваги системи в стані спокою, що відповідає особливій точ­ці в просторі станів.

А. Пуанкаре ввів класифікацію особливих точок залежно від харак­теру інтегральних кривих поблизу цих точок, тобто залежно від виду коренів характеристичного рівняння розглянутої системи (2.30).

Для визначення виду особливих точок за коренями характе­рис­тичного рівняння двовимірної системи (2.30) введемо такі позначення:

де – стаціонарні значення Розкладемо функції в ряд Тейлора в околі їхніх стаціонарних значень:

	(2.31)
	(2.32)

Оскільки то після спрощен­ня рівнянь (2.31), (2.32) одержимо таку систему:

де

   (2.33)

З урахуванням (2.33) та нових позначень початкову систему (2.30) запишемо у вигляді:

   (2.34)

Для дослідження системи (2.30) порівняємо властивості диси­патив­них і консервативних систем на основі дослідження властивостей оператора:

   (2.35)

Отже, відомо, що для будь-якої консервативної системи існує гамільтоніан – такий, що ця система перетворюється і набуває такого вигляду:

   (2.36)

В області лінійних наближень (2.33) маємо

тобто

   (2.37)

Отже, для консервативних систем слід, тобто лінійного оператора L дорівнює нулю, що свідчить про симетричність спектра цього оператора, власні частоти при цьому

Відомо, що для системи (2.34) розв’язок можна знайти так:

   (2.38)

Підставляючи (2.38) у (2.34), отримаємо

   (2.39)

Скоротивши рівняння (2.39) на ( ), маємо

   (2.40)

Приведемо (2.40) до вигляду

   (2.41)

Умова існування нетривіального розв’язку (2.41) приводить до нас­тупного характеристичного рівняння для оператора:

або (2.42)

З урахуванням позначень – слід матриці оператора L, – визначник матриці оператора L, характеристичне рівняння має такий вигляд:

   (2.43)

Для аналізу характеру траєкторій системи на фазовій площині за­пишемо в загальному вигляді розв’язок (2.34):

   (2.44)

Застосуємо до першої частини системи (2.34) лінійне перетворення координат:

   (2.45)

Тоді система (2.34) приводиться до такого вигляду:

   (2.46)

Розділивши одне канонічне рівняння системи (2.36) на інше, мати­мемо:

   (2.47)

Інтегруючи це рівняння, легко одержати

Вважатимемо, що – великий корінь характеристичного рів­нян­ня.

Якщо одного знака, то ми маємо справу з інтегральними кри­вими параболічного типу. Всі інтегральні криві (крім осі , якій відповідає ) торкаються на початку координат осі – також ін­тегральної кривої (2.47). З’ясуємо тепер напрямок рухів на фазовій площині. Якщо – від’ємні, то, як випливає з рівнянь (2.46), зменьшуються з часом. Зображуюча точка з часом набли­жа­єть­ся до початку координат, однак ніколи не досягає його в кінцеву мить, тому що це суперечило б теоремі Коші, яка затверджує, що через кожну точку фазової площини проходить лише одна фазова траєкторія системи (2.46).

Така особлива точка, через яку проходять інтегральні криві подібно до того, як сім’я парабол проходить через початок ко­ординат, називається вузол (рис. 2.32).

Неважко помітити, що стан рівноваги, який відповідає вузлові (при ), стійкий за Ляпуновим, оскільки зображуюча точка за всіма інтегральними кривими рухається до початку координат (стій­кий вузол – рис. 2.33(а)). Якщо ж то зростають з ча­сом, то зображуюча точка віддаляється від початку координат (нестійкий вузол – рис. 2.33(б)). У загальному вигляді характер по­ведінки інтегральних кривих навколо стану рівноваги не буде зміню­ватися, однак дотичні, обумовлені коефіцієнтами можуть не співпадати з початком координат. Нижче наведено приклади стій­кого і нестійкого вузлів (див. рис. 2.33).

Рис. 2.32. Зображення особливої точки типу вузол на фазовій площині

Рис. 2.33. Зображення на фазовій площині особливих точок:

а) стійкий вузол; б) нестійкий вузол

Розглянемо випадок, коли – дійсні, але різних знаків. У цьо­му випадку маємо

   (2.48)

Інтегруючи, одержимо

   (2.49)

Вираз (2.49) визначає властивості кривих гіперболічного типу, що мають у якості асимптот обидві осі координат.

Розглянута сім’я інтегральних кривих має єдину особливу точку на початку координат, через яку проходять тільки дві інтегральні криві, що є асимптотами. Така особлива точка називається особливою точ­кою типу сідло. Загальний вид сідла наведено на рис. 2.34.

Рис. 2.34. Зображення особливої точки типу сідло:

а) на площині канонічних координат ; б) на фазовій площині

Дослідимо поведінку зображуючої точки поблизу стану рівноваги. При ця точка, розміщена на осі, буде віддалятися від початку координат, а розміщена на осі – необмежено наближатися до початку координат, не досягаючи його в кінцеву мить. Отже, осо­блива точка типу сідло завжди нестійка.

Розглянемо випадок, коли – комплексне спряження коренів характеристичного рівняння (2.45), які мають вигляд

   (2.50)

Увівши певне проміжне перетворення, можна звести розгляд до дій­сного лінійного однорідного перетворення

   (2.51)

де – дійсні величини. Очевидно, перетворення від (Z₁, Z₂) до (u, v) є дійсним, лінійним, однорідним, з визначником, відмінним від нуля.

Порівняємо (2.45) і (2.51) і одержимо:

   (2.52)

звідки маємо

   (2.53)

Розділивши перше рівняння на друге, матимемо

   (2.54)

Введемо полярну систему координат: u = r cos , v = r sin . Тоді du = dr cos – sin d , dv = dr sin + cos Після підстановки отримаємо

   (2.55)

звідки

   (2.56)

Рівняння (2.56) визначає на фазовій площині сім’ю логарифмічних спіралей із загальною асимптотичною точкою на початку координат (рис. 2.35).

Рис. 2.35. Зображення сім’ї логарифмічних спіралей з особливою точкою типу центр:

а) на фазовій площині v, u; б) у координатах Z₁, Z₂

Визначимо характер руху точки по фазових траєкторіях. Для цього перетворимо (2.53) до вигляду

   (2.57)

Отримаємо

   (2.58)

де

Нехай тоді зображуюча точка безупинно набли­жа­ється до початку координат (не досягаючи його в кінцеву мить). Фа­зові траєкторії відповідають коливальним, але згасаючим рухам, що наближаються до стану рівноваги. Особлива точка сім’ї інтеграль­них кривих, які мають вид спіралей, вкладених одна в одну, нази­ва­ється фокусом. Тому фокус є стійким.

Зауважимо, що у випадку стійкого фокуса виконується не тільки умо­ва стійкості за Ляпуновим (як, утім, і для стійкого вузла), а й більш важлива вимога. За будь-яких початкових відхилень за досить тривалий час система наблизиться як завгодно близько до стану рівноваги. Таку стійкість називають абсолютною.

При маємо нестійкий фокус.

Розглянемо випадок, коли звертається в нуль ( ). Тоді тобто фазовими траєкторіями на площині (u, v) бу­дуть концентричні окружності. Якщо перейти до початкових коор­ди­нат, то одержимо

   (2.59)

тобто рівняння (2.59) є рівнянням еліпса.

Така ізольована точка, поблизу якої інтегральні криві є замкнутими кривими (наприклад, еліпсами), які «вкладені» одна в одну й ото­чу­ють особливу точку, називається центром (рис. 2.36).

Рис. 2.36. Зображення особливої точки типу центр на фазовій площині (Y₁, Y₂)

Підсумовуючи здійснене дослідження, відзначимо, що залежно від властивостей лінійного оператора Z можливі чотири типи стану рів­новаги, які наведено в табл. 2.2. Тепер перетворимо це в строго ма­те­матичну форму.

Перепишемо характеристичне рівняння (2.43)

У загальному вигляді можна записати вираз для коренів характе­рис­тичного рівняння (2.43):

   (2.60)

Таблиця 2.2

Класифікація типу особливих точок залежно від коренів характеристичного рівняння

Корені характеристичного рівняння	Стійка	Нестійка
1. – дійсні величини: а)	вузол
б)		вузол
2. – дійсні величини а) б)		сідло
3. – комплексні величини а)		фокус
б)	фокус
4. – чисто уявні величини	центр	центр

Очевидно, що умовою стійкості буде наявність від’ємної дійсної частини в коренях характеристичного рівняння Необхідна і дос­татня умова цього – виконання нерівностей:

   (2.61)

Запишемо тепер аналітичні вираження для різних типів особливих точок:

фокус    (2.62)

центр    (2.63)

сідло    (2.64)

Якщо коефіцієнти лінійного оператора

залежать від якогось параметра, то при зміні цього параметра будуть відповідно змінюватися . При зміні співвідношення між відбувається зміна (деформація) фазового портрета системи.

На рис. 2.37 зображено біфуркаційну (граничну) криву в площині . Ця крива описується таким співвідношенням:

(2.65)

Рис. 2.37. Площина параметрів

На рис. 2.37 видно, що в результаті біфуркації:

• особлива точка типу сідло може переходити у вузол (як стійкий, так і нестійкий);

• стійкий вузол може перейти або в сідло, або в стійкий фокус;

• стійкий фокус може через центр переходити в нестійкий фокус і назад.

Випадок рівних коренів відповідає границі між вуз­ла­ми і фокусами.

Слід зауважити, що коефіцієнти лінійного оператора Z можуть за­лежати від двох і більше параметрів; у цьому випадку треба будувати площину цих параметрів і на ній діаграму.

Як випливає з проведеного дослідження, зміст стійкості за Ляпу­новим полягає в тому, що якщо розв’язок починається на невеликій відстані від початку координат, то він має бути укладнений усередині більш широкого «каналу», відзначеного на рис. 2.38 пунктирною лі­нією.

Визначення асимптотної стійкості (за Ляпуновим) відповідає ви­мозі тобто необхідно, щоб система в кінцевому ра­хун­ку поверталася до точки рівноваги. Поняття стійкості й асимп­тотної (асимптотичної) стійкості незалежні, однак обидва вони мають на увазі наявність відомої точки рівноваги з її найближчим околом, що належить до типу центр.

Рис. 2.38. Геометрична інтерпретація стійкості за Ляпуновим

Говорячи про стійку точку рівноваги, необхідно згадати про її нав­колишню відкриту область, що називається областю тяжіння. Така назва пов’язана з властивістю стійкості точки рівноваги, яка діє як магніт, що «втягує» будь-який початковий стан усередину своєї області тяжіння. Ця властивість точки рівноваги проілюстрована на рис. 2.38.

Особливість класичних понять стійкості полягає в тому, що вони стосуються конкретної системи і поведінки її траєкторій в околі точки рівноваги. Сучасний аналіз стійкості систем часто оперує поняттям «структурна стійкість» і вимагає іншого, відмінного від класичного, підходу до аналізу об’єкта. Особливість такого підходу – аналіз сім’ї траєкторій, «близьких» до стандартної системи.

Концепція структурної стійкості тісно пов’язана з теорією біфур­ка­цій та її сучасним різновидом – теорією катастроф. Далі буде на­ведено приклади якісного аналізу стійкості при дослідженні поведінки техніко-економічних систем (ЕС).