3.1.4. Основи теорії диференційних рівнянь

Диференційними рівняннями називаються рівняння, в яких неві­до­мими є функції, причому в рівняння входять не тільки самі функції, а й їхні похідні.

Запишемо різницеві рівняння, розглянуті в попередньому пункті, в такому вигляді:

   (2.16)

де дорівнює 1. Рівняння (2.16) зв’язує стан динамічної системи у двох точках: і ( ).

Перейдемо в лівій частині рівняння (2.16) до границі при Одержуємо рівняння

   (2.17)

Це диференційне рівняння, яке розв’язане відносно похідної.

Ми будемо розглядати тільки функції часу хоча в загаль­но­му випадку це необов’язково. Зауважимо, що диференційне рівняння, на відміну від різницевого, описує динаміку поведінки системи в одній точці Рівняння (2.17) функціонально зв’язує швидкості зміни (похідні за ) величин, які характеризують поведінку системи, із самими величинами

Не знаходячи розв’язок аналітично, у вигляді формули, можна скласти уявлення про загальну картину цих розв’язків на основі геометричного змісту рівняння (2.17). Нагадаємо геометричний зміст похідної У площині для кривої величини дорівнює тангенсові кута нахилу дотичної до кривої.

Отже, знаючи залежність від змінних виражену в рів­нянні (2.17), можна знайти напрямок дотичної до кривої, що є гра­фі­ком розв’язку (2.17). Графіки розв’язків диференційного рівняння на­зиваються інтегральною лінією цього рівняння.

Напрямок дотичної можна показати на рисунку, провівши через якусь точку маленький відрізок прямої під кутом так, що Якщо на рисунку збільшити кількість точок, у яких про­ведено напрямок дотичної, то, як видно з рис. 2.27, утвориться множина кривих, що є розв’язками диференційного рівняння (2.17). Рівняння (2.17) має нескінченну множину розв’язків, і через кожну точку площини проходить один розв’язок. Отже, щоб отри­мати конкретний розв’язок рівняння, треба задати початкову умову

Розв’язком диференційного рівняння називається функція, яка, будучи підставлена в це рівняння, обертає його в тотожність.

Приклад 1. Розглянемо рівняння

   (2.18)

Помноживши обидві частини цього рівняння на отримаємо

   (2.19)

Ліва частина рівняння (2.19) є диференціалом добутку змінних отже, рівняння (2.19) можна записати у такому вигляді:

Звідси де – довільна константа. Отже, розв’язком рів­нян­ня (2.19) є сім’я гіпербол зображених на рис. 2.28.

Рис. 2.27. Геометрична інтерпретація розв’язків диференційного рівняння

Рис. 2.28. Розв’язок рівняння (2.18)

Для виокремлення однієї з кривих цієї сім’ї необхідно задати по­чаткове значення Нехай тоді і рівняння шу­каної кривої має вигляд

Приклад 2. Найпростішим диференційним рівнянням є рівняння

   (2.20)

Як відомо з курсу математичного аналізу, загальний розв’язок цього рівняння можна записати так:

   (2.21)

де С – довільна константа.

Приклад 3. Розв’язати рівняння

   (2.22)

Очевидно, що загальний розв’язок цього рівняння – функція де – довільна постійна.

Приклади моделей. Вивчаючи питання наукометрії, І. В. Налімов сфор­мулював дві моделі розвитку науки. У найпростішій моделі пе­ред­бачається, що швидкість зростання кількості публікацій про­пор­ційна їхній досягнутій кількості:

   (2.23)

де – кількість публікацій;

– константа.

Розв’язком рівняння є функції типу тобто зі збільшенням часу кількість публікацій зростає експоненційно.

Оскільки при функція набуває нескінченно ве­ли­ких значень, то модель (2.23) може використовуватися тільки на об­ме­женому часовому інтервалі. Зрозуміло, що при певному меха­нізм зростання кількості публікацій має змінитися. Для будь-якого наукового напрямку настає етап насичення (гальмування). Розглянемо рівняння (2.24):

   (2.24)

де і – константи.

Коли збільшується і стає порівнянним за величиною з тоді і, отже, тобто ріст припиняється.

Рівняння типу (2.24) називаються логістичними, тому що їхнім розв’язком є логістична крива, яка має S-подібну форму. Відзначимо, що логістичне рівняння є нелінійним, оскільки його права частина містить

Аналогічні динамічні моделі застосовуються в демографії та біо­логії. Одна з перших моделей динаміки росту населення (попу­ляції) належить Мальтусу:

   (2.25)

де – чисельність популяції;

– різниця між коефіцієнтами народжуваності та смертності.

Розв’язком рівняння (2.25) є експонента, і якщо тоді при чисельність популяції необмежено зростає. Модель (2.25) не враховує обмеженості природних ресурсів, тому в 1838 р. Ферхюльст запропонував логістичну модель, яка достатньо добре описує дина­мі­ку популяцій:

   (2.26)

де    – гранична чисельність, якої може досягти популяція (ємність середовища).

У наведених прикладах динамічна модель описується одним дифе­ренційним рівнянням. Значно більш реалістичні моделі можна одер­жати, якщо розглядати сукупність рівнянь.

Системи диференційних рівнянь. Системою диференційних рів­нянь називається сукупність рівнянь, яка містить кілька невідомих функ­цій та їхні похідні.

У цьому навчальному посібнику будуть розглядатися системи ди­ференційних рівнянь, що складаються з декількох рівнянь, в які вхо­дять невідомі функції, при цьому всі невідомі функції є функціями од­нієї незалежної змінної

Розв’язком системи диференційних рівнянь називається сукупність функцій які при підстановці в рівняння обертають їх у тотож­ності.

Розглянемо систему диференційних рівнянь такого вигляду:

   (2.27)

Зауважимо, що в правих частинах рівнянь змінна присутня в неявному вигляді. Такі системи називаються автономними дина­міч­ними системами другого порядку. Основна геометрична інтерпретація системи (2.27) пов’язана з розглядом площини що називається фазовою площиною.

Відзначимо, що ця інтерпретація істотно відрізняється від гео­мет­ричної інтерпретації, описаної вище; її можна назвати кінематичною, тому що в цій інтерпретації кожному розв’язку ставиться у від­по­відність рух точки по кривій, а не крива в просторі.

Системи типу (2.27) використовуються для опису еволюційних про­цесів. Точка фазового простору визначає стан системи. Прикла­де­ний до цієї точки вектор з координатами задає швид­кість зміни стану. Точка, де цей вектор перетвориться в нуль ( ), називається станом рівноваги, або особливою точ­кою системи (2.27).

Розв’язок системи (2.27) будемо зображувати параметричними кривими на фазовій площині :

Порівняємо геометричну інтерпретацію системи (2.27) у просторі з інтерпретацією на фазовій площині.

а) У кожну траєкторію фазової площини проектується сукупність інтегральних кривих у просторі Ці криві виходять одна з одної, змінюючи на (рис. 2.29).

б) Якщо точка ( ) є станом рівноваги системи (2.22) то інтегральна крива є прямою, паралельною осі Ця пря­ма проектується на площину в єдину точку ( ).

Рис. 2.29. Поведінка розв’язків у просторі і на фазовій площині

в) Якщо система має періодичний розв’язок з періодом тоді в про­сторі відповідна інтегральна крива є спіраллю з кроком Ця спіраль проектується на фазову площину в замкнуту криву (рис. 2.29).

При проекції спіралі на площину ( ) або ( ) одержимо си­ну­сої­дальну криву, що показує зміну змінної в часі.

Системи диференційних рівнянь часто застосовують для опису ро­боти технічних пристроїв (механічних, електричних і т. ін.). Оскільки система диференційних рівнянь має нескінченну множину розв’язків (конкретний розв’язок визначається початковими умовами), то й тех­нічні пристрої (машини, механізми) можуть мати нескінченну мно­жи­ну режимів. На практиці ці пристрої працюють у цілком визначених режимах, що може пояснюватися вибором конкретних початкових умов і тим, що пристрій сам стабілізує свою роботу.

Розглянемо хрестоматійний приклад настінного годинника з маят­ником. Якщо маятник відхилити від вертикального положення досить сильно, годинник буде працювати з визначеною амплітудою коливань дуже довго. Якщо ж відхилити недостатньо сильно, то після невеликої кількості коливань маятник зупиниться. Отже, в цій динамічній сис­темі існують два стаціонарних розв’язки: періодичний розв’язок, який відповідає нормальному ходу годинника, і стан рівноваги – коли швид­кість маятника дорівнює нулю. Будь-який інший з нескінченної множини розв’язків швидко наближається до одного з двох стаціо­нар­них розв’язків, кожен з яких є стійким – у тому розумінні, що розв’я­зок не надто відхиляється від стаціонарного (в початковий момент) і наближається до нього.

В околі особливих точок фазові траєкторії можуть бути шести ти­пів, що схематично показано на рис. 2.30 (стрілки на фазовій траєк­то­рії вказують напрямок зміни параметра ).

Рис. 2.30. Фазові траєкторії в околі особливої точки:

a) стійкий вузол; b) нестійкий вузол; с) стійкий фокус; d) нестійкий фокус; e) сідло

На рис. 2.30 особлива точка умовно розміщена на початку коор­ди­нат. На рис. 2.30(е) траєкторії, яким належить особлива точка, нази­ва­ються сепаратрисами.

Класифікацію типів поведінки фазових кривих в околі особливої точ­ки здійснив великий французький математик і філософ Анрі Пуан­каре (1854–1912), який увів також поняття граничного циклу, що ві­діграє найважливішу роль у різних застосуваннях теорії диферен­цій­них рівнянь.

Граничним циклом диференційного рівняння називається ізольо­ва­ний періодичний розв’язок цього рівняння (рис. 2.31).

Рис. 2.31. Граничний цикл

Для якісного дослідження поведінки динамічної системи достатньо визначити стан рівноваги, наявність граничних циклів, поведінку се­паратрис.

З погляду якісного дослідження знання точної форми траєкторій нас не цікавить.

На сьогодні якісне вивчення моделей еволюційних процесів стало доступно широкому колу користувачів завдяки наявності та стрімкому вдосконаленню відповідного програмного забезпечення (пакети при­клад­них програм DYSMAP, DYSMOD, OYANA, STELLA, Professional DYNAMO та ін. (див. розділ 4 цього посібника).